Resolva as equações de Cauchy Euler:
(b)
(b)
Passo 1
O enunciado nos dá a equação de Euler–Cauchy
que é um ODE de coeficientes variáveis do tipo
. O truque padrão é usar a mudança de variável
que transforma em uma equação de coeficientes constantes.
Passo 2
Definimos
Como
substituindo na equação original obtemos
Passo 3
A equação homogênea associada é
com equação característica
ou seja, raiz dupla
. Portanto a solução geral da homogênea é
Passo 4
Para achar uma solução particular de
fazemos o palpite polinomial
Então
e substituindo no lado esquerdo:
Igualando coeficientes dá
e
. Logo
Passo 5
A solução geral em
é
Voltando a
e lembrando
, obtemos
Resposta
onde
e
são constantes arbitrárias.