Resolva as equações de Cauchy Euler:
(b) t^2 y^prime prime-t y^prime+y=ln t

Passo 1

O enunciado nos dá a equação de Euler–Cauchy
t^2y''-t,y'+y=ln t
que é um ODE de coeficientes variáveis do tipo t^2y''+alpha,t,y'+beta,y=(termo não-homogêneo)ãê. O truque padrão é usar a mudança de variável
x=ln t,
que transforma em uma equação de coeficientes constantes.

Passo 2

Definimos
u(x)=yl(e^xr)
Como
y'=du/dxdt/dx=u'e^x, y''=1e^2xl(u''-u'r),
substituindo na equação original obtemos
u''-2u'+u = x

Passo 3

A equação homogênea associada é
u''-2u'+u=0
com equação característica
m^2-2m+1=0Longrightarrow(m-1)^2=0,
ou seja, raiz dupla m=1. Portanto a solução geral da homogênea é
uh(x) = l(C1+C2,xr)e^x

Passo 4

Para achar uma solução particular de
u''-2u'+u = x
fazemos o palpite polinomial
up(x)=a,x+b
Então
up'=a, up''=0,
e substituindo no lado esquerdo:
0 -2a + (a,x+b)=x ;Longrightarrow; a,x +l(b-2ar)=x
Igualando coeficientes dá a=1 e b-2a=0Rightarrow b=2. Logo
up(x)=x+2

Passo 5

A solução geral em x é
u(x)=uh(x)+up(x) =l(C1+C2xr)e^x+x+2
Voltando a t=e^x e lembrando y(t)=u(ln t), obtemos
y(t)=l(C1+C2ln tr),t + ln t + 2

Resposta

y(t)=C1,t + C2,tln t + ln t + 2,
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

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