Considere a função
.
(a) Encontre todos os pontos críticos de
;
(b) Classifique-os como ponto de máximo local, de mínimo local ou de sela;
(a) Encontre todos os pontos críticos de
(b) Classifique-os como ponto de máximo local, de mínimo local ou de sela;
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede (a) os pontos críticos, que encontramos fazendo as derivadas parciais iguais a zero, e (b) a classificação de cada ponto usando o Hessiano e o critério dos menores principais.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais:
Igualando a zero, temos o sistema
Da primeira equação vem
ou
. Se
, então da segunda
e
, gerando o ponto
. Se
, então da segunda
;implica
, logo
, gerando os pontos
e
.
Passo 3
O Hessiano de
é a matriz
com
Para classificar um ponto usamos os menores principais:
Se
e
, é mínimo local; se
e
, é máximo local; se
, é ponto de sela.
Passo 4
Avaliando em cada ponto:
Para
:
Logo
é mínimo local.
Para
:
Como
, cada um desses pontos é de sela.
Resposta
Os pontos críticos são
, que é mínimo local,
e
, que são pontos de sela.