(2,0) Considere a função f(x, y)=x^2 y+x^2+y^2+5.
(a) Encontre todos os pontos críticos de f;
(b) Classifique-os como ponto de máximo local, de mínimo local ou de sela;

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x,y)=x^2y + x^2 + y^2 + 5
e pede (a) os pontos críticos, que encontramos fazendo as derivadas parciais iguais a zero, e (b) a classificação de cada ponto usando o Hessiano e o critério dos menores principais.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais:
partial fpartial x=2x(y+1), partial fpartial y=x^2+2y
Igualando a zero, temos o sistema
2x(y+1)=0, x^2+2y=0
Da primeira equação vem x=0 ou y=-1. Se x=0, então da segunda 0+2y=0 e y=0, gerando o ponto (0,0). Se y=-1, então da segunda ;x^2+2(-1)=0;implica x^2=2, logo x=pmraiz2, gerando os pontos (raiz2,-1) e (-raiz2,-1).

Passo 3

O Hessiano de f é a matriz
H = fxx & fxy fyx & fyy
com
fxx=2(y+1), fxy=2x, fyy=2
Para classificar um ponto usamos os menores principais:
D1 = fxx, D2 = det(H)=fxxfyy - (fxy)^2
Se D2>0 e D1>0, é mínimo local; se D2>0 e D1<0, é máximo local; se D2<0, é ponto de sela.

Passo 4

Avaliando em cada ponto:
Para (0,0):
fxx=2(0+1)=2, fxy=0, fyy=2
D1=2>0, D2=2cdot2-0^2=4>0
Logo (0,0) é mínimo local.
Para (pmraiz2,-1):
fxx=2(-1+1)=0, fxy=2(pmraiz2)=pm2raiz2, fyy=2
D1=0, D2=0cdot2-(pm2raiz2)^2=-8<0
Como D2<0, cada um desses pontos é de sela.

Resposta

Os pontos críticos são
(0,0), que é mínimo local,
(raiz2,-1) e (-raiz2,-1), que são pontos de sela.

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