Calcule a integral e esboce o domínio de integração
.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Calcular a integral dupla
. - Esboçar (descrever) o domínio de integração
.
Informações fornecidas pelo enunciado:
- A variável
varia em . - Para cada
fixo, a variável varia de até .
Passo 2
Entender geometricamente as condições
e
. Vou escrever essas curvas em forma
para desenhar facilmente:
- Da igualdade
segue . - Da igualdade
segue .
As curvas
(reta) e
(parábola) se intersectam onde
ou seja
e
. Esses
correspondem aos
iguais a
e
. Portanto as interseções são
e
.
Passo 3
Descrição do domínio
(esboço mental / como desenhar):
- Desenhar os eixos
e no primeiro quadrante. - Desenhar a parábola
(abertura para cima) e a reta (reta passando pela origem com inclinação ). - O ponto de interseção não-nulo é
. - Para
, tem-se , ou seja, a parábola está abaixo da reta nesse intervalo. - O domínio
é a região limitada por essas duas curvas entre e : é a região entre a parábola abaixo e a reta acima, do até .
Forma alternativa (útil para trocar a ordem de integração):
Passo 4
Explicação rápida de por que essa descrição está coerente com os limites originais:
- O enunciado dá
e, para cada , . - Isolando
nas curvas dos limites de obtém-se e , e encontrando as interseções obtém-se os limites em como a . - Assim trocar a ordem de integração seria integrar primeiro em
de a e depois em de a :
Passo 5
Calcular a integral mantendo a ordem dada (integração em
primeiro), que é direta:
- A primitiva de
em relação a é . Como é constante em relação a , temos
Passo 6
Avaliar a expressão obtida no passo anterior:
Expliquei os expoentes:
e multiplicando por
soma-se expoentes:
.
Passo 7
Agora integrar em
de
a
:
Usar a regra de potência para integrais:
para
.
Calcular cada termo:
-
. Multiplicando por dá . -
. Multiplicando por dá .
Portanto a primitiva combinada é
Passo 8
Avaliar a primitiva entre
e
:
- Calcular
. Escrever . - Calcular
.
Substituindo:
Simplificar as frações:
Então