Calcule a integral e esboce o domínio de integração D.
\int_{0}^{4} \int_{y / 2}^{\sqrt{y}} x^{2} y^{2} d x d y

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Calcular a integral dupla \displaystyle \int_{0}^{4} \int_{y/2}^{\sqrt{y}} x^{2} y^{2}\,dx\,dy.
  • Esboçar (descrever) o domínio de integração D.
Informações fornecidas pelo enunciado:
  • A variável y varia em [\,0,4\,].
  • Para cada y fixo, a variável x varia de x=y/2 até x=\sqrt{y}.

Passo 2

Entender geometricamente as condições x=y/2 e x=\sqrt{y}. Vou escrever essas curvas em forma y= para desenhar facilmente:
  • Da igualdade x=y/2 segue y=2x.
  • Da igualdade x=\sqrt{y} segue y=x^{2}.
As curvas y=2x (reta) e y=x^{2} (parábola) se intersectam onde
x^{2}=2x \quad\Rightarrow\quad x^{2}-2x=0 \quad\Rightarrow\quad x(x-2)=0,
ou seja x=0 e x=2. Esses x correspondem aos y iguais a y=0 e y=4. Portanto as interseções são (0,0) e (2,4).

Passo 3

Descrição do domínio D (esboço mental / como desenhar):
  • Desenhar os eixos x e y no primeiro quadrante.
  • Desenhar a parábola y=x^{2} (abertura para cima) e a reta y=2x (reta passando pela origem com inclinação 2).
  • O ponto de interseção não-nulo é (2,4).
  • Para 0\le x\le 2, tem-se x^{2}\le 2x, ou seja, a parábola está abaixo da reta nesse intervalo.
  • O domínio D é a região limitada por essas duas curvas entre y=0 e y=4: é a região entre a parábola abaixo e a reta acima, do x=0 até x=2.
Forma alternativa (útil para trocar a ordem de integração):
D=\{(x,y)\mid 0\le x\le 2,\; x^{2}\le y\le 2x\}.

Passo 4

Explicação rápida de por que essa descrição está coerente com os limites originais:
  • O enunciado dá 0\le y\le 4 e, para cada y, y/2\le x\le \sqrt{y}.
  • Isolando y nas curvas dos limites de x obtém-se y=2x e y=x^{2}, e encontrando as interseções obtém-se os limites em x como 0 a 2.
  • Assim trocar a ordem de integração seria integrar primeiro em y de x^{2} a 2x e depois em x de 0 a 2:
\int_{0}^{4}\int_{y/2}^{\sqrt{y}} x^{2}y^{2}\,dx\,dy = \int_{0}^{2}\int_{x^{2}}^{2x} x^{2}y^{2}\,dy\,dx.

Passo 5

Calcular a integral mantendo a ordem dada (integração em x primeiro), que é direta:
  • A primitiva de x^{2} em relação a x é \dfrac{x^{3}}{3}. Como y^{2} é constante em relação a x, temos
\int_{y/2}^{\sqrt{y}} x^{2}y^{2}\,dx = y^{2}\int_{y/2}^{\sqrt{y}} x^{2}\,dx = y^{2}\left[\dfrac{x^{3}}{3}\right]_{x=y/2}^{x=\sqrt{y}}.

Passo 6

Avaliar a expressão obtida no passo anterior:
y^{2}\left(\dfrac{(\sqrt{y})^{3}}{3}-\dfrac{(y/2)^{3}}{3}\right) = y^{2}\left(\dfrac{y^{3/2}}{3}-\dfrac{y^{3}}{24}\right) = \dfrac{y^{7/2}}{3}-\dfrac{y^{5}}{24}.
Expliquei os expoentes: (\sqrt{y})^{3}=y^{1/2\cdot 3}=y^{3/2} e multiplicando por y^{2} soma-se expoentes: y^{2}\cdot y^{3/2}=y^{7/2}.

Passo 7

Agora integrar em y de 0 a 4:
\int_{0}^{4}\left(\dfrac{y^{7/2}}{3}-\dfrac{y^{5}}{24}\right)dy = \dfrac{1}{3}\int_{0}^{4} y^{7/2}\,dy - \dfrac{1}{24}\int_{0}^{4} y^{5}\,dy.
Usar a regra de potência para integrais: \displaystyle \int y^{n}\,dy=\dfrac{y^{n+1}}{n+1} para n\neq -1.
Calcular cada termo:
  • \displaystyle \int y^{7/2}\,dy = \dfrac{y^{9/2}}{9/2} = \dfrac{2}{9}y^{9/2}. Multiplicando por \dfrac{1}{3} \dfrac{2}{27}y^{9/2}.
  • \displaystyle \int y^{5}\,dy = \dfrac{y^{6}}{6}. Multiplicando por \dfrac{1}{24} \dfrac{y^{6}}{144}.
Portanto a primitiva combinada é
\dfrac{2}{27}y^{9/2}-\dfrac{y^{6}}{144}.

Passo 8

Avaliar a primitiva entre y=0 e y=4:
  • Calcular 4^{9/2}. Escrever 4^{9/2}=(\sqrt{4})^{9}=2^{9}=512.
  • Calcular 4^{6}=4096.
Substituindo:
\left.\left(\dfrac{2}{27}y^{9/2}-\dfrac{y^{6}}{144}\right)\right|_{0}^{4} = \dfrac{2}{27}\cdot 512 - \dfrac{4096}{144}.
Simplificar as frações:
\dfrac{2\cdot 512}{27}=\dfrac{1024}{27},\qquad \dfrac{4096}{144}=\dfrac{256}{9}=\dfrac{768}{27}.
Então
\dfrac{1024}{27}-\dfrac{768}{27}=\dfrac{256}{27}.

Resposta

\dfrac{256}{27}

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