Calcule as seguintes integrais e esboce a região \mathcal{R} determinada pelos limites de integração. Afirme em cada caso se a região é do tipo I, II ou III.
\int_{0}^{1} \int_{x^{3}}^{x^{2}} d y d x

Passo 1

O enunciado pede três coisas:
  1. Calcular a integral iterada \displaystyle \int_{0}^{1}\int_{x^{3}}^{x^{2}} dy\,dx.
  2. Esboçar (descrever) a região \mathcal{R} determinada pelos limites de integração.
  3. Dizer se a região é do tipo I, II ou III.
Informações dadas (retiradas do enunciado):
  • A variável externa varia em x de 0 a 1: 0 \le x \le 1.
  • Para cada x nessa faixa, a variável y varia de y=x^{3} até y=x^{2}: x^{3}\le y\le x^{2}.

Passo 2

Interpretação geométrica e ideia do cálculo:
  • A integral iterada \displaystyle \int_{0}^{1}\int_{x^{3}}^{x^{2}} dy\,dx calcula a área (ou a integral da função constante 1) da região \mathcal{R} no plano (x,y) limitada por x entre 0 e 1 e por y entre x^{3} e x^{2}.
  • Quando se integra primeiro em y, a operação \int_{x^{3}}^{x^{2}} dy dá simplesmente a diferença y\big|_{y=x^{3}}^{y=x^{2}} = x^{2}-x^{3}. Essa é uma aplicação direta do Teorema Fundamental do Cálculo: a integral de 1 em y sobre um intervalo é o comprimento desse intervalo em y.

Passo 3

Calcular a integral interna (em y):
\int_{x^{3}}^{x^{2}} dy = \bigl[y\bigr]_{y=x^{3}}^{y=x^{2}} = x^{2}-x^{3}.
Expliquei passo a passo: integrar 1 em y resulta em y; avaliar y em y=x^{2} e subtrair o valor em y=x^{3} x^{2}-x^{3}.

Passo 4

Agora integrar em x de 0 a 1:
\int_{0}^{1}\bigl(x^{2}-x^{3}\bigr)\,dx = \int_{0}^{1}x^{2}\,dx - \int_{0}^{1}x^{3}\,dx.
Calculando cada integral usando a regra \int x^{n}dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1}:
\int_{0}^{1}x^{2}\,dx = \left.\dfrac{x^{3}}{3}\right|_{0}^{1}=\dfrac{1}{3}, \qquad \int_{0}^{1}x^{3}\,dx = \left.\dfrac{x^{4}}{4}\right|_{0}^{1}=\dfrac{1}{4}.
Portanto
\int_{0}^{1}\bigl(x^{2}-x^{3}\bigr)\,dx = \dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{12}.

Passo 5

Descrição / esboço da região \mathcal{R}:
  • Pela definição dos limites, \mathcal{R}=\{(x,y)\mid 0\le x\le 1,\; x^{3}\le y\le x^{2}\}.
  • As curvas que limitam a região são y=x^{3} (cúbica) e y=x^{2} (parábola). Elas se intersectam em x=0 e x=1, dando os pontos (0,0) e (1,1).
  • No intervalo 0<x<1 vale x^{3}<x^{2}, logo a cúbica fica abaixo da parábola; a região é o “bandinho” entre essas duas curvas para x entre 0 e 1.
  • Para esboçar: desenhar os eixos, traçar y=x^{2} (curva acima) e y=x^{3} (curva mais próxima do eixo x para 0<x<1), marcar (0,0) e (1,1) e sombrear a área entre as duas curvas.

Passo 6

Classificação do tipo da região:
  • A região já está escrita na forma
\{(x,y)\mid a\le x\le b,\; g(x)\le y\le h(x)\},
com a=0, b=1, g(x)=x^{3}, h(x)=x^{2}. Isso é a definição de região do tipo I (região “verticalmente simples”), pois para cada x entre constantes temos y entre duas funções de x.
  • Também é possível descrevê-la como região do tipo II (horizontalmente simples). Para ver isso, resolvemos as desigualdades em relação a x: x^{3}\le y\le x^{2}\quad\Longrightarrow\quad \sqrt{y}\le x\le y^{1/3},onde usamos que, para 0\le y\le 1, tem-se \sqrt{y}\le y^{1/3} (por exemplo elevando ambos os lados a potências adequadas ou observando o comportamento das potências em (0,1)). Assim a região pode ser descrita por \{(x,y)\mid 0\le y\le 1,\; \sqrt{y}\le x\le y^{1/3}\},que é a forma de tipo II.
  • Conclusão: a região \mathcal{R} é do tipo I (e, adicionalmente, pode ser escrita também como tipo II). Ou seja, é simples tanto verticalmente quanto horizontalmente.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{12}
A região \mathcal{R}=\{(x,y)\mid 0\le x\le1,\\ x^{3}\le y\le x^{2}\} é do tipo I (e também do tipo II).

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