Calcule as seguintes integrais e esboce a região \mathcal{R} determinada pelos limites de integração. Afirme em cada caso se a região é do tipo I, II ou III. \int_{0}^{1} \int_{x^{3}}^{x^{2}} d y d x
Passo 1
O enunciado pede três coisas:
Calcular a integral iterada \displaystyle \int_{0}^{1}\int_{x^{3}}^{x^{2}} dy\,dx.
Esboçar (descrever) a região \mathcal{R} determinada pelos limites de integração.
Dizer se a região é do tipo I, II ou III.
Informações dadas (retiradas do enunciado):
A variável externa varia em x de 0 a 1: 0 \le x \le 1.
Para cada x nessa faixa, a variável y varia de y=x^{3} até y=x^{2}: x^{3}\le y\le x^{2}.
Passo 2
Interpretação geométrica e ideia do cálculo:
A integral iterada \displaystyle \int_{0}^{1}\int_{x^{3}}^{x^{2}} dy\,dx calcula a área (ou a integral da função constante 1) da região \mathcal{R} no plano (x,y) limitada por x entre 0 e 1 e por y entre x^{3} e x^{2}.
Quando se integra primeiro em y, a operação \int_{x^{3}}^{x^{2}} dy dá simplesmente a diferença y\big|_{y=x^{3}}^{y=x^{2}} = x^{2}-x^{3}. Essa é uma aplicação direta do Teorema Fundamental do Cálculo: a integral de 1 em y sobre um intervalo é o comprimento desse intervalo em y.
Passo 3
Calcular a integral interna (em y):
\int_{x^{3}}^{x^{2}} dy = \bigl[y\bigr]_{y=x^{3}}^{y=x^{2}} = x^{2}-x^{3}.
Expliquei passo a passo: integrar 1 em y resulta em y; avaliar y em y=x^{2} e subtrair o valor em y=x^{3} dá x^{2}-x^{3}.
Pela definição dos limites, \mathcal{R}=\{(x,y)\mid 0\le x\le 1,\; x^{3}\le y\le x^{2}\}.
As curvas que limitam a região são y=x^{3} (cúbica) e y=x^{2} (parábola). Elas se intersectam em x=0 e x=1, dando os pontos (0,0) e (1,1).
No intervalo 0<x<1 vale x^{3}<x^{2}, logo a cúbica fica abaixo da parábola; a região é o “bandinho” entre essas duas curvas para x entre 0 e 1.
Para esboçar: desenhar os eixos, traçar y=x^{2} (curva acima) e y=x^{3} (curva mais próxima do eixo x para 0<x<1), marcar (0,0) e (1,1) e sombrear a área entre as duas curvas.
Passo 6
Classificação do tipo da região:
A região já está escrita na forma
\{(x,y)\mid a\le x\le b,\; g(x)\le y\le h(x)\},
com a=0, b=1, g(x)=x^{3}, h(x)=x^{2}. Isso é a definição de região do tipo I (região “verticalmente simples”), pois para cada x entre constantes temos y entre duas funções de x.
Também é possível descrevê-la como região do tipo II (horizontalmente simples). Para ver isso, resolvemos as desigualdades em relação a x:x^{3}\le y\le x^{2}\quad\Longrightarrow\quad \sqrt{y}\le x\le y^{1/3},onde usamos que, para 0\le y\le 1, tem-se \sqrt{y}\le y^{1/3} (por exemplo elevando ambos os lados a potências adequadas ou observando o comportamento das potências em (0,1)). Assim a região pode ser descrita por\{(x,y)\mid 0\le y\le 1,\; \sqrt{y}\le x\le y^{1/3}\},que é a forma de tipo II.
Conclusão: a região \mathcal{R} é do tipo I (e, adicionalmente, pode ser escrita também como tipo II). Ou seja, é simples tanto verticalmente quanto horizontalmente.
Resposta
\displaystyle \frac{1}{12}
A região \mathcal{R}=\{(x,y)\mid 0\le x\le1,\\ x^{3}\le y\le x^{2}\} é do tipo I (e também do tipo II).