Calcule a integral e esboce o domínio de integração
.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Calcular a integral iterada
. - Esboçar (descrever) o domínio de integração
.
Informações dadas:
- A variável
varia em . - Para cada
fixo, a variável varia em . - A função integrada é
.
Passo 2
O que significa essa integral e por que podemos calcular assim:
- A integral
é uma integral dupla sobre uma região do plano. Especificamente, os limites indicam que
- Como a função
é contínua em , podemos aplicar a regra de Fubini: calcular a integral dupla como uma integral iterada, primeiro em (a interna) e depois em (a externa). - Para facilitar os cálculos, usamos a linearidade da integral: integramos termo a termo.
Passo 3
Calcule a integral interna em
:
Integrando termo a termo em relação a
:
-
-
porque
é constante em relação a . -
Somando:
Passo 4
Agora integramos a expressão resultante em
:
Integramos termo a termo em relação a
:
Somando os dois resultados:
Passo 5
Interpretação geométrica e esboço do domínio
:
- O domínio
é o retângulo no plano com entre e e entre e . - Os vértices desse retângulo são
, , e . - Para esboçar: desenhar os eixos
e , marcar os pontos , no eixo e , no eixo , e desenhar o retângulo formado por essas linhas. Sombreie ou pinte esse retângulo para indicar .