Calcule a integral e esboce o domínio de integração D.
\int_{0}^{2} \int_{0}^{1}(1+2 x+2 y) d y d x

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Calcular a integral iterada \displaystyle \int_{0}^{2}\int_{0}^{1}(1+2x+2y)\,dy\,dx.
  • Esboçar (descrever) o domínio de integração D.
Informações dadas:
  • A variável x varia em [0,2].
  • Para cada x fixo, a variável y varia em [0,1].
  • A função integrada é 1+2x+2y.

Passo 2

O que significa essa integral e por que podemos calcular assim:
  • A integral \displaystyle \int_{0}^{2}\int_{0}^{1}(1+2x+2y)\,dy\,dx é uma integral dupla sobre uma região D do plano. Especificamente, os limites indicam que
D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid 0\le x\le 2,\;0\le y\le 1\}.
  • Como a função 1+2x+2y é contínua em D, podemos aplicar a regra de Fubini: calcular a integral dupla como uma integral iterada, primeiro em y (a interna) e depois em x (a externa).
  • Para facilitar os cálculos, usamos a linearidade da integral: integramos termo a termo.

Passo 3

Calcule a integral interna em y:
\int_{0}^{1}(1+2x+2y)\,dy.
Integrando termo a termo em relação a y:
  • \displaystyle \int_{0}^{1}1\,dy = \bigl[y\bigr]_{0}^{1} = 1.
  • \displaystyle \int_{0}^{1}2x\,dy = 2x\bigl[y\bigr_{0}^{1} = 2x\cdot 1 = 2x, porque 2x é constante em relação a y.
  • \displaystyle \int_{0}^{1}2y\,dy = \bigl[y^{2}\bigr]_{0}^{1} = 1.
Somando:
\int_{0}^{1}(1+2x+2y)\,dy = 1 + 2x + 1 = 2 + 2x.

Passo 4

Agora integramos a expressão resultante em x:
\int_{0}^{2}(2+2x)\,dx.
Integramos termo a termo em relação a x:
  • \displaystyle \int_{0}^{2}2\,dx = \bigl[2x\bigr]_{0}^{2} = 2\cdot 2 - 0 = 4.
  • \displaystyle \int_{0}^{2}2x\,dx = \bigl[x^{2}\bigr]_{0}^{2} = 2^{2}-0 = 4.
Somando os dois resultados:
\int_{0}^{2}(2+2x)\,dx = 4 + 4 = 8.

Passo 5

Interpretação geométrica e esboço do domínio D:
  • O domínio D é o retângulo no plano (x,y) com x entre 0 e 2 e y entre 0 e 1.
  • Os vértices desse retângulo são (0,0), (2,0), (2,1) e (0,1).
  • Para esboçar: desenhar os eixos x e y, marcar os pontos x=0, x=2 no eixo x e y=0, y=1 no eixo y, e desenhar o retângulo formado por essas linhas. Sombreie ou pinte esse retângulo para indicar D.

Resposta

8
\displaystyle D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid 0\le x\le 2,\;0\le y\le 1\} (retângulo com vértices (0,0),(2,0),(2,1),(0,1)).

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