Calcule a integral, se ela existir.
\int_{0}^{5} \frac{x}{\sqrt{1+3 x}} d x

Passo 1

O enunciado pede: calcular, se existir, a integral definida
\int_{0}^{5} \frac{x}{\sqrt{1+3x}}\,dx.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função integranda é f(x)=\dfrac{x}{\sqrt{1+3x}}.
  • O intervalo de integração é [0,5].
  • A pergunta é se a integral existe (isto é, se é um integral próprio) e, em caso afirmativo, calcular o valor numérico.

Passo 2

Verificamos primeiro se a integral é própria (se a função é contínua no intervalo [0,5]), porque só assim podemos aplicar as técnicas normais de integração definida sem tratar singularidades.
  • O denominador é \sqrt{1+3x}. Para x\in[0,5] temos 1+3x\ge 1>0, logo a raiz quadrada é bem definida e não se anula no intervalo.
  • Assim f(x)=\dfrac{x}{\sqrt{1+3x}} é uma razão de funções contínuas com denominador não nulo em [0,5], portanto f é contínua em [0,5].
    Conclusão: a integral é própria e existe; podemos calcular normalmente.

Passo 3

Método prático: fazer uma substituição que simplifique a expressão \sqrt{1+3x}. A ideia é trocar a variável x por u=1+3x para eliminar a raiz e transformar em potências de u.
Explicação didática da substituição: quando vemos algo do tipo \sqrt{1+3x} ou (1+3x)^{\alpha}, a substituição u=1+3x normalmente simplifica porque a derivada du é proporcional a dx, permitindo reescrever toda a integral em termos de u.

Passo 4

Fazemos a substituição e calculamos os elementos necessários:
u = 1+3x.
Diferenciando,
du = 3\,dx \quad\Rightarrow\quad dx = \frac{du}{3}.
Também expressamos x em função de u:
x=\frac{u-1}{3}.

Passo 5

Mudança dos limites de integração conforme u=1+3x:
x=0 \Rightarrow u=1+3\cdot 0=1,
x=5 \Rightarrow u=1+3\cdot 5=16.
Portanto a integral definida em x em [0,5] vira uma integral em u em [1,16].

Passo 6

Reescrevemos o integrando em termos de u. Substituindo x e dx obtém-se
\frac{x}{\sqrt{1+3x}}\,dx = \frac{\dfrac{u-1}{3}}{\sqrt{u}}\cdot\frac{du}{3}.
Colocando tudo junto:
\frac{x}{\sqrt{1+3x}}\,dx = \frac{u-1}{9}\cdot u^{-1/2}\,du.
Agora desenvolvemos o numerador:
\frac{u-1}{9}\,u^{-1/2} = \frac{1}{9}\bigl(u^{1/2}-u^{-1/2}\bigr).
Logo a integral transforma-se em
\int_{0}^{5}\frac{x}{\sqrt{1+3x}}\,dx = \int_{1}^{16}\frac{1}{9}\bigl(u^{1/2}-u^{-1/2}\bigr)\,du.

Passo 7

Integramos termo a termo usando a regra da potência: para n\neq -1,
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1}.
Aplicando a regra aos dois termos:
\int u^{1/2}\,du = \frac{u^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3}u^{3/2},
\int u^{-1/2}\,du = \frac{u^{1/2}}{1/2} = 2u^{1/2}.
Multiplicando pelo fator \tfrac{1}{9} obtemos a primitiva para a integral em u:
F(u)=\frac{1}{9}\left(\frac{2}{3}u^{3/2}-2u^{1/2}\right) = \frac{2}{27}u^{3/2}-\frac{2}{9}u^{1/2}.

Passo 8

Avaliaremos F(u) entre os limites u=1 e u=16.
Primeiro calcule as potências:
u=16:\quad u^{1/2}=4,\quad u^{3/2}=16\cdot 4=64.
u=1:\quad u^{1/2}=1,\quad u^{3/2}=1.
Agora avalie:
F(16)=\frac{2}{27}\cdot 64 - \frac{2}{9}\cdot 4,
F(1)=\frac{2}{27}\cdot 1 - \frac{2}{9}\cdot 1.
Calcule cada termo com denominador comum 27:
F(16)=\frac{128}{27}-\frac{24}{27}=\frac{104}{27},
F(1)=\frac{2}{27}-\frac{6}{27}=-\frac{4}{27}.
Subtraindo F(16)-F(1):
\frac{104}{27}-\left(-\frac{4}{27}\right)=\frac{108}{27}=4.

Passo 9

Conclusão: a integral existe (a função é contínua em [0,5]) e o valor calculado é 4. Força aí — deu certinho!

Resposta

4

Exercícios relacionados