Calcule a integral, se ela existir.
Passo 1
O enunciado pede: calcular, se existir, a integral definida
Informações relevantes fornecidas:
- A função integranda é
. - O intervalo de integração é
. - A pergunta é se a integral existe (isto é, se é um integral próprio) e, em caso afirmativo, calcular o valor numérico.
Passo 2
Verificamos primeiro se a integral é própria (se a função é contínua no intervalo
), porque só assim podemos aplicar as técnicas normais de integração definida sem tratar singularidades.
- O denominador é
. Para temos , logo a raiz quadrada é bem definida e não se anula no intervalo. - Assim
é uma razão de funções contínuas com denominador não nulo em , portanto é contínua em .
Conclusão: a integral é própria e existe; podemos calcular normalmente.
Passo 3
Método prático: fazer uma substituição que simplifique a expressão
. A ideia é trocar a variável
por
para eliminar a raiz e transformar em potências de
.
Explicação didática da substituição: quando vemos algo do tipo ou
, a substituição
normalmente simplifica porque a derivada
é proporcional a
, permitindo reescrever toda a integral em termos de
.
Explicação didática da substituição: quando vemos algo do tipo
Passo 4
Fazemos a substituição e calculamos os elementos necessários:
Diferenciando,
Também expressamos
em função de
:
Passo 5
Mudança dos limites de integração conforme
:
Portanto a integral definida em
em
vira uma integral em
em
.
Passo 6
Reescrevemos o integrando em termos de
. Substituindo
e
obtém-se
Colocando tudo junto:
Agora desenvolvemos o numerador:
Logo a integral transforma-se em
Passo 7
Integramos termo a termo usando a regra da potência: para
,
Aplicando a regra aos dois termos:
Multiplicando pelo fator
obtemos a primitiva para a integral em
:
Passo 8
Avaliaremos
entre os limites
e
.
Primeiro calcule as potências:
Primeiro calcule as potências:
Agora avalie:
Calcule cada termo com denominador comum
:
Subtraindo
:
Passo 9
Conclusão: a integral existe (a função é contínua em
) e o valor calculado é
. Força aí — deu certinho!