O Senhor Mateus e seus filhos fazem aniversário no mesmo dia do ano. Ele possui exatos 40 anos, e seus 6 filhos, sendo 5 homens e 1 mulher, têm diferença exata de dois anos entre o nascimento de cada um. Os nomes dos filhos são: Márcio, Maurício, Mário, Marcos, Moacir e Marcela. Considere que os 6 filhos possuem idades distintas e que:
- Mário é mais novo que Moacir;
- Moacir não é mais novo que Marcos, tampouco mais novo que Maurício;
- Marcela é mais velha que Márcio e mais velha que Maurício, mas não é mais velha que Marcos;
- Márcio nasceu há um ano;
- Mário é mais velho que Márcio, mas não é mais velho que Maurício.
Em quantos anos a idade do pai será o quádruplo da idade da filha? Alternativas
A)Em 5 anos.
B)Em 4 anos.
C)Em 3 anos.
D)Em 6 anos.
A)Em 5 anos.
B)Em 4 anos.
C)Em 3 anos.
D)Em 6 anos.
Passo 1
O problema pede: “Em quantos anos a idade do pai será o quádruplo da idade da filha?” As informações fornecidas são:
- O pai tem
anos agora. - Há
filhos com idades distintas, sendo a diferença exata de anos entre cada nascimento (ou seja, as idades formam uma sequência com passo ). - Os nomes dos filhos: Márcio, Maurício, Mário, Marcos, Moacir e Marcela.
- Restrições entre idades (todas relativas às idades atuais):
- Mário é mais novo que Moacir.
- Moacir não é mais novo que Marcos, tampouco mais novo que Maurício.
- Marcela é mais velha que Márcio e mais velha que Maurício, mas não é mais velha que Marcos.
- Márcio nasceu há um ano.
- Mário é mais velho que Márcio, mas não é mais velho que Maurício.
- Há apenas uma filha, Marcela (as outras cinco são homens).
A tarefa é, com essas informações, achar em quantos anos (um número inteiro) teremos.
Passo 2
Entender a estrutura das idades dos filhos (sequência com passo
) e usar a informação de Márcio.
Explicação didática: quando dizemos que “as idades têm diferença exata de anos entre o nascimento de cada um”, isso significa que as seis idades formam uma progressão aritmética com diferença comum
. Como sabemos a idade de um filho (Márcio), podemos gerar todas as idades possíveis seguindo esse passo.
Dado que “Márcio nasceu há ano”, concluímos que a idade atual de Márcio é
. Logo as seis idades distintas (ordenadas por incremento de
) serão:
Explicação didática: quando dizemos que “as idades têm diferença exata de
Dado que “Márcio nasceu há
Observação: usei a informação direta do enunciado “Márcio nasceu há um ano” para fixar
como a menor idade possível da sequência.
Passo 3
Traduzir as condições de comparação em relações de ordem entre os nomes, usando as idades discretas
.
Escrevendo as desigualdades dadas:
Escrevendo as desigualdades dadas:
- “Mário é mais novo que Moacir” significa
- “Moacir não é mais novo que Marcos, tampouco mais novo que Maurício” significa
e - “Marcela é mais velha que Márcio e mais velha que Maurício, mas não é mais velha que Marcos” significa
, e Como todas as idades são distintas, a última condição vira - “Márcio nasceu há um ano” já usei para fixar
- “Mário é mais velho que Márcio, mas não é mais velho que Maurício” significa
e Novamente, por distinção de idades, isso vira
Resumo das ordens necessárias:
além de
e
, e
.
Passo 4
Colocar as seis posições das idades
em ordem crescente (posição do mais jovem para o mais velho) e alocar nomes conforme as desigualdades.
Raciocínio: já temos o mais jovem fixo:
Raciocínio: já temos o mais jovem fixo:
As desigualdades exigem a cadeia
Isso são
nomes em sequência acima de Márcio, portanto eles devem ocupar, na ordem, as posições
respectivamente. Resta apenas uma posição (a mais alta, posição
) para Moacir, lembrando que Moacir deve ser maior ou igual a Marcos e Maurício; como as idades são distintas, Moacir deve ser estritamente maior que Marcos e ocupar a posição mais alta possível.
Logo a atribuição lógica é:
Logo a atribuição lógica é:
Passo 5
Verificar uma a uma as condições do enunciado com a atribuição encontrada.
- Mário (
) é mais novo que Moacir ( ) — OK. - Moacir (
) não é mais novo que Marcos ( ) nem que Maurício ( ) — OK (ele é mais velho). - Marcela (
) é mais velha que Márcio ( ) e que Maurício ( ), mas não é mais velha que Marcos ( ) — OK ( , , ). - Márcio =
— OK. - Mário (
) é mais velho que Márcio ( ) e não é mais velho que Maurício ( ) — OK ( e ).
Todas as condições do enunciado estão satisfeitas com a atribuição acima.
Passo 6
Agora modelar a pergunta matematicamente e resolver.
Queremos encontrar um número de anos tal que a idade do pai daqui a
anos seja o quádruplo da idade da filha Marcela daqui a
anos.
Variáveis:
Queremos encontrar um número de anos
Variáveis:
- Idade atual do pai:
- Idade atual de Marcela:
Daqui aanos: - Pai terá
- Marcela terá
A equação que representa “pai = 4 × filha” é
Passo 7
Resolver a equação passo a passo (método: manipulação de equações lineares).
Começamos expandindo o lado direito:
Começamos expandindo o lado direito:
Subtraímos
dos dois lados para agrupar termos em
:
Subtraímos
dos dois lados:
Dividimos por
:
Passo 8
Interpretação e checagem final.
Encontramos . Verificação rápida: daqui a
anos o pai terá
anos e Marcela terá
anos; realmente
. Portanto a resposta correta é a alternativa correspondente a
anos.
Encontramos
Resposta
B) Em
anos.