O Senhor Mateus e seus filhos fazem aniversário no mesmo dia do ano. Ele possui exatos 40 anos, e seus 6 filhos, sendo 5 homens e 1 mulher, têm diferença exata de dois anos entre o nascimento de cada um. Os nomes dos filhos são: Márcio, Maurício, Mário, Marcos, Moacir e Marcela. Considere que os 6 filhos possuem idades distintas e que:
  • Mário é mais novo que Moacir;
  • Moacir não é mais novo que Marcos, tampouco mais novo que Maurício;
  • Marcela é mais velha que Márcio e mais velha que Maurício, mas não é mais velha que Marcos;
  • Márcio nasceu há um ano;
  • Mário é mais velho que Márcio, mas não é mais velho que Maurício.
Em quantos anos a idade do pai será o quádruplo da idade da filha? Alternativas
A)Em 5 anos.
B)Em 4 anos.
C)Em 3 anos.
D)Em 6 anos.

Passo 1

O problema pede: “Em quantos anos a idade do pai será o quádruplo da idade da filha?” As informações fornecidas são:
  • O pai tem 40 anos agora.
  • 6 filhos com idades distintas, sendo a diferença exata de 2 anos entre cada nascimento (ou seja, as idades formam uma sequência com passo 2).
  • Os nomes dos filhos: Márcio, Maurício, Mário, Marcos, Moacir e Marcela.
  • Restrições entre idades (todas relativas às idades atuais):
    • Mário é mais novo que Moacir.
    • Moacir não é mais novo que Marcos, tampouco mais novo que Maurício.
    • Marcela é mais velha que Márcio e mais velha que Maurício, mas não é mais velha que Marcos.
    • Márcio nasceu há um ano.
    • Mário é mais velho que Márcio, mas não é mais velho que Maurício.
  • Há apenas uma filha, Marcela (as outras cinco são homens).
    A tarefa é, com essas informações, achar em quantos anos (um número inteiro) teremos \text{idade do pai} = 4 \times \text{idade da filha}.

Passo 2

Entender a estrutura das idades dos filhos (sequência com passo 2) e usar a informação de Márcio.
Explicação didática: quando dizemos que “as idades têm diferença exata de 2 anos entre o nascimento de cada um”, isso significa que as seis idades formam uma progressão aritmética com diferença comum d=2. Como sabemos a idade de um filho (Márcio), podemos gerar todas as idades possíveis seguindo esse passo.
Dado que “Márcio nasceu há 1 ano”, concluímos que a idade atual de Márcio é \,1. Logo as seis idades distintas (ordenadas por incremento de 2) serão:
\{1,\;3,\;5,\;7,\;9,\;11\}.
Observação: usei a informação direta do enunciado “Márcio nasceu há um ano” para fixar \,1 como a menor idade possível da sequência.

Passo 3

Traduzir as condições de comparação em relações de ordem entre os nomes, usando as idades discretas \{1,3,5,7,9,11\}.
Escrevendo as desigualdades dadas:
  • “Mário é mais novo que Moacir” significa \text{idade de Mário} < \text{idade de Moacir}.á
  • “Moacir não é mais novo que Marcos, tampouco mais novo que Maurício” significa \text{idade de Moacir} \ge \text{idade de Marcos} e \text{idade de Moacir} \ge \text{idade de Maurício}.í
  • “Marcela é mais velha que Márcio e mais velha que Maurício, mas não é mais velha que Marcos” significa \text{idade de Marcela} > \text{idade de Márcio}á, \text{idade de Marcela} > \text{idade de Maurício}í e \text{idade de Marcela} \le \text{idade de Marcos}. Como todas as idades são distintas, a última condição vira \text{idade de Marcela} < \text{idade de Marcos}.
  • “Márcio nasceu há um ano” já usei para fixar \text{idade de Márcio}=1.á
  • “Mário é mais velho que Márcio, mas não é mais velho que Maurício” significa \text{idade de Mário} > \text{idade de Márcio}áá e \text{idade de Mário} \le \text{idade de Maurício}.áí Novamente, por distinção de idades, isso vira \text{idade de Mário} < \text{idade de Maurício}.áí
Resumo das ordens necessárias:
\text{Márcio} = 1,\quad \text{e}\quad \text{Márcio} < \text{Mário} < \text{Maurício} < \text{Marcela} < \text{Marcos},áááí
além de \text{Moacir} \ge \text{Marcos} e \text{Moacir} \ge \text{Maurício}í, e \text{Mário} < \text{Moacir}á.

Passo 4

Colocar as seis posições das idades \{1,3,5,7,9,11\} em ordem crescente (posição do mais jovem para o mais velho) e alocar nomes conforme as desigualdades.
Raciocínio: já temos o mais jovem fixo:
\text{posição }1:\; \text{Márcio} = 1.çãá
As desigualdades exigem a cadeia
\text{Márcio} < \text{Mário} < \text{Maurício} < \text{Marcela} < \text{Marcos}.ááí
Isso são 5 nomes em sequência acima de Márcio, portanto eles devem ocupar, na ordem, as posições 2,3,4,5 respectivamente. Resta apenas uma posição (a mais alta, posição 6) para Moacir, lembrando que Moacir deve ser maior ou igual a Marcos e Maurício; como as idades são distintas, Moacir deve ser estritamente maior que Marcos e ocupar a posição mais alta possível.
Logo a atribuição lógica é:
\begin{aligned} \text{posição }1&:\; \text{Márcio} = 1,\\\ \text{posição }2&:\; \text{Mário} = 3,\\\ \text{posição }3&:\; \text{Maurício} = 5,\\\ \text{posição }4&:\; \text{Marcela} = 7,\\\ \text{posição }5&:\; \text{Marcos} = 9,\\\ \text{posição }6&:\; \text{Moacir} = 11. \end{aligned}çãáçãáçãíçãçãçã

Passo 5

Verificar uma a uma as condições do enunciado com a atribuição encontrada.
  • Mário ( 3) é mais novo que Moacir ( 11) — OK.
  • Moacir ( 11) não é mais novo que Marcos ( 9) nem que Maurício ( 5) — OK (ele é mais velho).
  • Marcela ( 7) é mais velha que Márcio ( 1) e que Maurício ( 5), mas não é mais velha que Marcos ( 9) — OK ( 7>1, 7>5, 7<9).
  • Márcio = 1 — OK.
  • Mário ( 3) é mais velho que Márcio ( 1) e não é mais velho que Maurício ( 5) — OK ( 3>1 e 3<5).
    Todas as condições do enunciado estão satisfeitas com a atribuição acima.

Passo 6

Agora modelar a pergunta matematicamente e resolver.
Queremos encontrar um número de anos t tal que a idade do pai daqui a t anos seja o quádruplo da idade da filha Marcela daqui a t anos.
Variáveis:
  • Idade atual do pai: \,40.
  • Idade atual de Marcela: \,7.
    Daqui a t anos:
  • Pai terá \,40+t.
  • Marcela terá \,7+t.
    A equação que representa “pai = 4 × filha” é
40 + t = 4\,(7 + t).

Passo 7

Resolver a equação passo a passo (método: manipulação de equações lineares).
Começamos expandindo o lado direito:
40 + t = 28 + 4t.
Subtraímos t dos dois lados para agrupar termos em t:
40 = 28 + 3t.
Subtraímos 28 dos dois lados:
12 = 3t.
Dividimos por 3:
t = 4.

Passo 8

Interpretação e checagem final.
Encontramos t = 4. Verificação rápida: daqui a 4 anos o pai terá 40+4=44 anos e Marcela terá 7+4=11 anos; realmente 44 = 4\times 11. Portanto a resposta correta é a alternativa correspondente a 4 anos.

Resposta

B) Em 4 anos.

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