Calcule a integral de sobre o tetraedro de vértices e .
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. A gente precisa calcular a integral de uma função $ f(x, y, z) = x^{2} + y^{2} - z $ sobre um tetraedro definido pelos vértices , , e .
Matéria envolvida: Cálculo de integrais múltiplas, especificamente integrais tripla em coordenadas cartesianas.
O que vamos precisar: Definir os limites de integração para $ x $, $ y $ e $ z $ que descrevem o tetraedro, e então calcular a integral passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar o tetraedro. Os vértices estão todos no plano $ z = 0 $, exceto . Isso significa que a base do tetraedro está no plano $ z = 0 $ e o ponto é o vértice superior.
Vamos identificar as faces do tetraedro para determinar os limites de integração. As faces são formadas pelos triângulos formados pelos vértices dados.
Passo 3
Para definir os limites de integração, vamos expressar $ z $ em função de $ x $ e $ y $. Observando os vértices, a face superior do tetraedro é formada pelos pontos , e .
Encontramos a equação da face superior. Como temos três pontos, podemos usar a formulação de uma equação de plano. Vamos assumir que a equação tem a forma $ z = ax + by + c $.
Substituindo os pontos:
Para :
Para :
Para :
Substituindo $ c = 4 $ na equação $ c = -b $:
E substituindo $ b = -4 $ na equação $ a + b + c = 0 $:
Então, a equação da face superior é:
Passo 4
Agora, vamos definir os limites de integração para $ z $, $ y $ e $ x $.
Observando o tetraedro:
$ z $ varia de $ 0 $ até a equação da face superior, ou seja, de $ 0 $ a $ -4y + 4 $.
Para um dado $ z $, $ y $ varia de $ 0 $ até $ 1 $.
E $ x $ varia de $ 0 $ até $ 1 $.
Então, os limites são:
Passo 5
Vamos agora configurar a integral tripla com esses limites. A integral fica:
Vamos resolver essa integral passo a passo, integrando primeiro em relação a $ z $, depois a $ y $ e por último a $ x $.
Passo 6
Primeiro, integremos a função $ f(x, y, z) = x^{2} + y^{2} - z $ em relação a $ z $:
A integral de $ x^{2} + y^{2} $ em relação a $ z $ é $ (x^{2} + y^{2})z $, e a integral de $ -z $ é $ -\frac{z^{2}}{2} $. Então:
Substituindo os limites:
integral0^-4y + 4 (x^2 + y^2 - z) , dz
x^2 + y^2
Passo 7
Agora, vamos simplificar a expressão obtida:
Primeiro, calculamos $ (x^{2} + y^{2})(4 - 4y) $:
(x^2 + y^2)(4 - 4y)
Em seguida, calculamos $ \frac{(4 - 4y)^{2}}{2} $:
4x^2 - 4x^2y + 4y^2 - 4y^3
Então, a expressão total fica:
(4 - 4y)^22
16 - 32y + 16y^22 = 8 - 16y + 8y^2
4x^2 - 4x^2y + 4y^2 - 4y^3 - (8 - 16y + 8y^2)
= 4x^2 - 4x^2y + 4y^2 - 4y^3 - 8 + 16y - 8y^2
Passo 8
Agora, vamos integrar a expressão resultante em relação a $ y $: