Calcule a integral de f(x, y, z)=x^2+y^2-z sobre o tetraedro de vértices (0,0,0),(1,1,0),(0,1,0) e (0,0,4).

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. A gente precisa calcular a integral de uma função $ f(x, y, z) = x^{2} + y^{2} - z $ sobre um tetraedro definido pelos vértices f(x, y, z) = x^2 + y^2 - z , (0,0,0), (1,1,0) e (0,1,0).
Matéria envolvida: Cálculo de integrais múltiplas, especificamente integrais tripla em coordenadas cartesianas.
O que vamos precisar: Definir os limites de integração para $ x $, $ y $ e $ z $ que descrevem o tetraedro, e então calcular a integral passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar o tetraedro. Os vértices estão todos no plano $ z = 0 $, exceto z = 0 . Isso significa que a base do tetraedro está no plano $ z = 0 $ e o ponto (0,0,4) é o vértice superior.
Vamos identificar as faces do tetraedro para determinar os limites de integração. As faces são formadas pelos triângulos formados pelos vértices dados.

Passo 3

Para definir os limites de integração, vamos expressar $ z $ em função de $ x $ e $ y $. Observando os vértices, a face superior do tetraedro é formada pelos pontos z , x e y .
Encontramos a equação da face superior. Como temos três pontos, podemos usar a formulação de uma equação de plano. Vamos assumir que a equação tem a forma $ z = ax + by + c $.
Substituindo os pontos:
  1. Para (1,1,0):
(0,1,0)
(0,0,4)
  1. Para z = ax + by + c :
(1,1,0)
0 = a(1) + b(1) + c
  1. Para a + b + c = 0 :
(0,1,0)
0 = a(0) + b(1) + c
Substituindo $ c = 4 $ na equação $ c = -b $:
b + c = 0 Rightarrow c = -b
E substituindo $ b = -4 $ na equação $ a + b + c = 0 $:
(0,0,4)
Então, a equação da face superior é:
4 = a(0) + b(0) + c

Passo 4

Agora, vamos definir os limites de integração para $ z $, $ y $ e $ x $.
Observando o tetraedro:
  • $ z $ varia de $ 0 $ até a equação da face superior, ou seja, de $ 0 $ a $ -4y + 4 $.
  • Para um dado $ z $, $ y $ varia de $ 0 $ até $ 1 $.
  • E $ x $ varia de $ 0 $ até $ 1 $.
Então, os limites são:
z
y
x

Passo 5

Vamos agora configurar a integral tripla com esses limites. A integral fica:
integral0^1 integral0^1 integral0^-4y + 4 (x^2 + y^2 - z) , dz , dy , dx
Vamos resolver essa integral passo a passo, integrando primeiro em relação a $ z $, depois a $ y $ e por último a $ x $.

Passo 6

Primeiro, integremos a função $ f(x, y, z) = x^{2} + y^{2} - z $ em relação a $ z $:
f(x, y, z) = x^2 + y^2 - z
A integral de $ x^{2} + y^{2} $ em relação a $ z $ é $ (x^{2} + y^{2})z $, e a integral de $ -z $ é $ -\frac{z^{2}}{2} $. Então:
z
Substituindo os limites:
integral0^-4y + 4 (x^2 + y^2 - z) , dz
x^2 + y^2

Passo 7

Agora, vamos simplificar a expressão obtida:
Primeiro, calculamos $ (x^{2} + y^{2})(4 - 4y) $:
(x^2 + y^2)(4 - 4y)
Em seguida, calculamos $ \frac{(4 - 4y)^{2}}{2} $:
4x^2 - 4x^2y + 4y^2 - 4y^3
Então, a expressão total fica:
(4 - 4y)^22
16 - 32y + 16y^22 = 8 - 16y + 8y^2
4x^2 - 4x^2y + 4y^2 - 4y^3 - (8 - 16y + 8y^2)
= 4x^2 - 4x^2y + 4y^2 - 4y^3 - 8 + 16y - 8y^2

Passo 8

Agora, vamos integrar a expressão resultante em relação a $ y $:
y
Vamos integrar termo a termo:
  1. $ \int 4x^{2} , dy = 4x^{2}y $
  2. $ \int -4x^{2}y , dy = -4x^{2} \cdot \frac{y^{2}}{2} = -2x{2}y{2} $
  3. $ \int -4y^{3} , dy = -4 \cdot \frac{y^{4}}{4} = -y^{4} $
  4. $ \int 16y , dy = 16 \cdot \frac{y^{2}}{2} = 8y^{2} $
  5. $ \int -8 , dy = -8y $
  6. $ \int -4y^{2} , dy = -4 \cdot \frac{y^{3}}{3} = -\frac{4}{3}y^{3} $
Juntando tudo:
integral0^1 (4x^2 - 4x^2y - 4y^3 + 16y - 8 - 4y^2) dy
Substituindo $ y = 1 $:
integral 4x^2 , dy = 4x^2y
integral -4x^2y , dy = -4x^2 cdot y^22 = -2x^2y^2
integral -4y^3 , dy = -4 cdot y^44 = -y^4
integral 16y , dy = 16 cdot y^22 = 8y^2

Passo 9

Agora, queremos integrar $ 2x^{2} - \frac{7}{3} $ em relação a $ x $, de $ 0 $ a $ 1 $:
2x^2 - 73
Integrando termo a termo:
  1. $ \int 2x^{2} , dx = 2 \cdot \frac{x^{3}}{3} = \frac{2}{3}x^{3} $
  2. $ \int -\frac{7}{3} , dx = -\frac{7}{3}x $
Então:
x
Substituindo $ x = 1 $:
0
E para $ x = 0 $, tudo é zero.

Resposta

A integral de $ f(x, y, z) = x^{2} + y^{2} - z $ sobre o tetraedro é f(x, y, z) = x^2 + y^2 - z .

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