Vamos calcular a integral dupla . Esse exercício envolve cálculo de integrais múltiplas, especificamente integrais duplas. Para resolver, vamos precisar entender como trocar a ordem de integração e aplicar técnicas de substituição em integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região de integração. Temos variando de 0 a 1 e, para cada , varia de a 1. Para facilitar a integração, vamos trocar a ordem dos limites, integrando primeiro em relação a e depois em relação a .
Passo 3
Para trocar a ordem de integração, precisamos determinar os novos limites para e . Observando que varia de a , e para cada , varia de a (pois implica ).
Passo 4
Agora, reescrevemos a integral com a nova ordem:
Como não depende de , podemos simplificar a integral interna em relação a .
Passo 5
Integrando em relação a :
Portanto, a integral se reduz a:
Passo 6
Para resolver , vamos usar substituição. Seja , então , o que nos dá .
Passo 7
Reescrevendo a integral em termos de integral e^u cdot x^2 cdot x , dx = integral e^u cdot u cdot du2 = 12 integral u e^u , du :
Passo 8
A integral integral u e^u , du = u e^u - integral e^u , du = e^u(u - 1) pode ser resolvida por integração por partes: