Calcule integral0^1 integraly^1 / 3^1 e^x^2 d x d y.

Passo 1

Vamos calcular a integral dupla . Esse exercício envolve cálculo de integrais múltiplas, especificamente integrais duplas. Para resolver, vamos precisar entender como trocar a ordem de integração e aplicar técnicas de substituição em integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região de integração. Temos variando de 0 a 1 e, para cada , varia de a 1. Para facilitar a integração, vamos trocar a ordem dos limites, integrando primeiro em relação a e depois em relação a .

Passo 3

Para trocar a ordem de integração, precisamos determinar os novos limites para e . Observando que varia de a , e para cada , varia de a (pois implica ).

Passo 4

Agora, reescrevemos a integral com a nova ordem:
integral0^1 integral0^x^3 e^x^2 , dy , dx
Como não depende de , podemos simplificar a integral interna em relação a .

Passo 5

Integrando em relação a integral0^x^3 e^x^2 , dy = e^x^2 cdot y |0^x^3 = e^x^2 cdot x^3 :
integral0^1 e^x^2 cdot x^3 , dx
Portanto, a integral se reduz a:

Passo 6

Para resolver , vamos usar substituição. Seja , então , o que nos dá .

Passo 7

Reescrevendo a integral em termos de integral e^u cdot x^2 cdot x , dx = integral e^u cdot u cdot du2 = 12 integral u e^u , du :

Passo 8

A integral integral u e^u , du = u e^u - integral e^u , du = e^u(u - 1) pode ser resolvida por integração por partes:
12 [ e^u(u - 1) ]0^1
Portanto:

Passo 9

Substituindo os limites 12 [ e^1(1 - 1) - e^0(0 - 1) ] = 12 [ 0 - (-1) ] = 12 cdot 1 = 12 e :

Resposta

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