Calcule a integral, fazendo uma mudança de variável apropriada
integral duplaR x+cos (y)cos (x-y) d A
onde R é o paralelogramo limitado pelas retas x-y=0, x-y=1, x+2 y=0 e x+2 y=2.

Passo 1

Resumindo: a gente quer calcular ∬_R (x+cos y)/cos(x−y) dA, onde R é o paralelogramo dado pelas retas x−y=0, x−y=1, x+2y=0 e x+2y=2. O conteúdo é mudança de variável em integrais duplas e usaremos u=x−y e v=x+2y para transformar R num retângulo.

Passo 2

Definimos a troca de variáveis u=x−y e v=x+2y. Resolvendo para x e y em função de u,v, obtemos y=(v−u)/3 e x=(2u+v)/3.
Calculamos o jacobiano da transformação. As derivadas são x_u=2/3, x_v=1/3, y_u=−1/3, y_v=1/3, logo J=det[[2/3,1/3],[−1/3,1/3]]=1/3. Então dA=(1/3) du dv.

Passo 3

O domínio R em (u,v) vira o retângulo 0≤u≤1, 0≤v≤2. A integranda vira
x+cos ycos(x-y)=(2u+v)/3+cosl((v-u)/3r)cos(u)

Passo 4

Logo a integral fica
I=integral duplaRx+cos ycos(x-y),dA=integralu=0^1integralv=0^2(2u+v)/3+cosl((v-u)/3r)cos(u)cdot13,dv,du

Passo 5

Integramos primeiro em v. Separamos em duas parcelas: uma de (2u+v)/3 e outra de cos((v-u)/3). Fizendo as integrais de v obtemos
integral0^22u+v3,dv=4u+23,
integral0^2cosl(v-u3r)dv=3l[sinl(tfrac2-u3r)+sinl(tfrac u3r)r]

Passo 6

Substituindo de volta e simplificando a constante 1/3, chegamos a
I=integral0^1l(4u+29cos u+sinl((2-u)/3r)+sin(u/3)cos ur)du

Passo 7

A parte polinomial é direta: integral0^14u+29cos udu=49integral0^12u+12cos udu, que dá 4/9 mais uma parte em função de cos u. A segunda parte fica
integral0^1sinl(tfrac2-u3r)+sin(tfrac u3)cos udu

Passo 8

Portanto, em forma fechada a integral final é
I=49+integral0^1sinl(tfrac2-u3r)+sin(tfrac u3)cos u,du

Resposta

I=49+integral0^1sinl(tfrac2-u3r)+sinl(tfrac u3r)cos u,duapprox1.2354

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