Calcule a integral, fazendo uma mudança de variável apropriada
onde
é o paralelogramo limitado pelas retas
e
.
Passo 1
Resumindo: a gente quer calcular ∬_R (x+cos y)/cos(x−y) dA, onde R é o paralelogramo dado pelas retas x−y=0, x−y=1, x+2y=0 e x+2y=2. O conteúdo é mudança de variável em integrais duplas e usaremos u=x−y e v=x+2y para transformar R num retângulo.
Passo 2
Definimos a troca de variáveis u=x−y e v=x+2y. Resolvendo para x e y em função de u,v, obtemos y=(v−u)/3 e x=(2u+v)/3.
Calculamos o jacobiano da transformação. As derivadas são x_u=2/3, x_v=1/3, y_u=−1/3, y_v=1/3, logo J=det[[2/3,1/3],[−1/3,1/3]]=1/3. Então dA=(1/3) du dv.
Calculamos o jacobiano da transformação. As derivadas são x_u=2/3, x_v=1/3, y_u=−1/3, y_v=1/3, logo J=det[[2/3,1/3],[−1/3,1/3]]=1/3. Então dA=(1/3) du dv.
Passo 3
O domínio R em (u,v) vira o retângulo 0≤u≤1, 0≤v≤2. A integranda vira
Passo 4
Logo a integral fica
Passo 5
Integramos primeiro em v. Separamos em duas parcelas: uma de (2u+v)/3 e outra de cos((v-u)/3). Fizendo as integrais de v obtemos
Passo 6
Substituindo de volta e simplificando a constante 1/3, chegamos a
Passo 7
A parte polinomial é direta:
, que dá 4/9 mais uma parte em função de
. A segunda parte fica
Passo 8
Portanto, em forma fechada a integral final é