Nos problemas 1-16, a função indicada y1(x) é uma solução da equação diferencial dada. Use redução de ordem ou a fórmula (5), conforme foi ensinado, para encontrar uma segunda solução y2(x).
6 y^prime prime+y^prime-y=0 ; y1=e^x / 3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de equações diferenciais! A gente tem a equação 6 y'' + y' - y = 0 e já sabemos que uma das soluções é y1 = e^x/3. Nosso objetivo é encontrar uma segunda solução y2(x). Para isso, vamos usar o método de redução de ordem, que nos ajuda a encontrar outra solução sabendo uma delas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é redução de ordem. Quando já conhecemos uma solução y1 de uma equação diferencial linear de segunda ordem, podemos encontrar y2 assumindo que ela tem a forma y2 = v(x) cdot y1, onde v(x) é uma função que precisamos determinar. Essa técnica simplifica o problema porque transforma a equação original em uma equação mais fácil de resolver para v(x).

Passo 3

Vamos aplicar essa ideia. Assumimos y2 = v(x) cdot e^x/3. Agora, precisamos calcular a primeira e segunda derivadas de y2:
y2' = v' e^x/3 + 13 v e^x/3
y2'' = v'' e^x/3 + 23 v' e^x/3 + 19 v e^x/3
Substituindo y2, y2' e y2'' na equação diferencial original 6 y'' + y' - y = 0, temos:
6 (v'' e^x/3 + 23 v' e^x/3 + 19 v e^x/3) + (v' e^x/3 + 13 v e^x/3) - v e^x/3 = 0
Simplificando os termos:
6 v'' e^x/3 + 4 v' e^x/3 = 0
Dividindo todos os termos por e^x/3:
6 v'' + 4 v' = 0
Isso reduz para:
v'' + 23 v' = 0

Passo 4

Agora, vamos resolver a equação v'' + 23 v' = 0. Integrando uma vez, temos:
v' + 23 v = C
Para simplificar, assumimos C = 0 (pois estamos buscando uma solução não trivial), então:
v' = -23 v
Resolvendo essa equação diferencial simples:
v = K e^-2x/3
Onde K é uma constante. Portanto, nossa segunda solução é:
y2 = v cdot y1 = e^x/3 cdot e^-2x/3 = e^-x/3

Resposta

A segunda solução da equação diferencial é y2(x) = e^-x/3.

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