Nos problemas 1-16, a função indicada
é uma solução da equação diferencial dada. Use redução de ordem ou a fórmula (5), conforme foi ensinado, para encontrar uma segunda solução
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de equações diferenciais! A gente tem a equação
e já sabemos que uma das soluções é
. Nosso objetivo é encontrar uma segunda solução
. Para isso, vamos usar o método de redução de ordem, que nos ajuda a encontrar outra solução sabendo uma delas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é redução de ordem. Quando já conhecemos uma solução
de uma equação diferencial linear de segunda ordem, podemos encontrar
assumindo que ela tem a forma
, onde
é uma função que precisamos determinar. Essa técnica simplifica o problema porque transforma a equação original em uma equação mais fácil de resolver para
.
Passo 3
Vamos aplicar essa ideia. Assumimos
. Agora, precisamos calcular a primeira e segunda derivadas de
:
Substituindo
,
e
na equação diferencial original
, temos:
Simplificando os termos:
Dividindo todos os termos por
:
Isso reduz para:
Passo 4
Agora, vamos resolver a equação
. Integrando uma vez, temos:
Para simplificar, assumimos
(pois estamos buscando uma solução não trivial), então:
Resolvendo essa equação diferencial simples:
Onde
é uma constante. Portanto, nossa segunda solução é:
Resposta
A segunda solução da equação diferencial é
.