Mostre que o comprimento da espiral dada por
e
com
é dado pela integral de
.
Passo 1
O enunciado pede pra mostrar que o comprimento da curva paramétrica dada por x(t)=t cos(t) e y(t)=t sen(t), com 0≤t≤2π, é igual a ∫₀²π√(1+t²) dt. O conteúdo envolvido é o cálculo do comprimento de uma curva parametrizada, e vamos precisar usar a fórmula L=∫√((dx/dt)²+(dy/dt)²) dt.
Passo 2
Primeiro, calculamos as derivadas de x(t) e y(t). Para x(t)=t cos(t), use regra do produto: x’(t)=d(t)/dt⋅cos(t)+t⋅d(cos(t))/dt=1⋅cos(t)+t⋅(−sen(t))=cos(t)−t sen(t). Para y(t)=t sen(t), de forma análoga: y’(t)=1⋅sen(t)+t⋅cos(t)=sen(t)+t cos(t).
Passo 3
Agora somamos os quadrados de x’(t) e y’(t). Temos: (x’)²+(y’)²=(cos(t)−t sen(t))²+(sen(t)+t cos(t))². Expandindo cada termo: (cos²(t)−2t cos(t)sen(t)+t² sen²(t))+(sen²(t)+2t sen(t)cos(t)+t² cos²(t)). Ao somar, os termos cruzados −2t cos sen e +2t sen cos se cancelam, e cos²+sen²=1 aparece duas vezes multiplicado por 1 e por t². Assim obtemos 1+t².
Passo 4
Finalmente, aplicamos a fórmula do comprimento da curva:
Passo 5
Isso mostra que o comprimento é dado pela integral de √(1+t²) de 0 a 2π.