Questão 1. Resolva os PVIs abaixo:
y^1-yt+1=2 t+2, t>-1, y(1)=5-9

Passo 1

O enunciado pede resolver o problema de valor inicial (PVI) dado por y' - yt+1 = 2t+2, para t > -1, com condição inicial y(1) = 5-9. O conteúdo é equação diferencial linear de primeira ordem e vamos usar fator integrante.

Passo 2

Reescrevemos a EDO na forma padrão y' + P(t)y = Q(t). Aqui identificamos P(t) = -1t+1 e Q(t) = 2t+2.

Passo 3

Calculamos o fator integrante mu(t):
mu(t) = expl(integral P(t),dtr) = expl(-integral 1t+1dtr) = expl(-ln|t+1|r) = 1t+1

Passo 4

Multiplicamos a equação original por mu(t) = tfrac1t+1 e reconhecemos o lado esquerdo como derivada do quociente:
1t+1y' - 1(t+1)^2y = 2t+2t+1 Longrightarrow ddtl(yt+1r) = 2

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a t:
yt+1 = integral 2,dt = 2t + C,
logo a solução geral é
y(t) = (t+1)(2t + C) = 2t^2 + (2 + C)t + C

Passo 6

Aplicamos y(1) = 5-9 = -4 na solução geral y(t) = 2t^2 + (2 + C)t + C:
2 + (2 + C) + C = -4 Longrightarrow 4 + 2C = -4 Longrightarrow C = -4

Resposta

y(t) = 2t^2 - 2t - 4

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