Calcule a integral fazendo uma substituição apropriada.
integral0^1 x^5 raiz1-x^2 d x.

Passo 1

O exercício pede calcular a integral definida integral0^1 x^5 raiz1 - x^2,dx. Isso envolve conteúdo de substituição trigonométrica, pois temos uma raiz quadrada do tipo raiz1-x^2.

Passo 2

Fazemos a substituição x = sintheta. Então temos:
dx = costheta,dtheta, raiz1 - x^2 = costheta
Os limites mudam de: x=0totheta=0 e x=1totheta=pi/2.

Passo 3

Substituindo na integral:
integral0^1 x^5 raiz1 - x^2,dx = integral0^pi/2 sin^5thetacdotcosthetacdotcostheta,dtheta = integral0^pi/2 sin^5theta,cos^2theta,dtheta
Como cos^2theta = 1 - sin^2theta, temos
integral0^pi/2 sin^5thetacos^2theta,dtheta = integral0^pi/2 l(sin^5theta - sin^7thetar),dtheta

Passo 4

Para potências ímpares de seno em [0, pi/2], podemos usar a fórmula geral
integral0^pi/2 sin^ntheta,dtheta = raizpi,Gammal(tfracn+12r)2,Gammal(tfracn2+1r)
ou lembrar valores padrão:
integral0^pi/2 sin^5theta,dtheta = 815, integral0^pi/2 sin^7theta,dtheta = 1635

Passo 5

Subtraindo esses resultados, a integral original fica:
815 - 1635 = 8cdot7 - 16cdot3105 = 56 - 48105 = 8105

Resposta

8105

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