Use a integral dupla em coordenadas polares para calcular a área da região.
Região dentro do círculo
e fora do círculo
.
Região dentro do círculo
Passo 1
A região é delimitada pelas curvas polares r=1+cosθ (cardióide) e r=3cosθ (círculo). O objetivo é achar a área dentro de r=1+cosθ e fora de r=3cosθ, ou seja, o “luna” formado entre as duas curvas.
Passo 2
Primeiro encontramos os ângulos de interseção, resolvendo 1+cosθ=3cosθ, que dá cosθ=1/2, ou seja θ=±π/3.
Entre θ=−π/3 e θ=π/3 temos cosθ≥1/2, o que implica 3cosθ≥1+cosθ. Isso mostra que, nesse intervalo, o círculo r=3cosθ é a fronteira externa e a cardióide r=1+cosθ é a fronteira interna do nosso ‘luneta’.
Entre θ=−π/3 e θ=π/3 temos cosθ≥1/2, o que implica 3cosθ≥1+cosθ. Isso mostra que, nesse intervalo, o círculo r=3cosθ é a fronteira externa e a cardióide r=1+cosθ é a fronteira interna do nosso ‘luneta’.
Passo 3
A área entre duas curvas em coordenadas polares é A=½∫(r_externa²−r_interna²)dθ. Aqui
Passo 4
Expandindo o integrando:
Passo 5
Usando
, o integrando vira
Passo 6
Logo
Passo 7
Integrando termo a termo:
Passo 8
Portanto, definindo
Passo 9
temos
Passo 10
Calculando:
e assim
Passo 11
Logo