Use a integral dupla em coordenadas polares para calcular a área da região.
Região dentro do círculo r=1+cos theta e fora do círculo r=3 cos theta.

Passo 1

A região é delimitada pelas curvas polares r=1+cosθ (cardióide) e r=3cosθ (círculo). O objetivo é achar a área dentro de r=1+cosθ e fora de r=3cosθ, ou seja, o “luna” formado entre as duas curvas.

Passo 2

Primeiro encontramos os ângulos de interseção, resolvendo 1+cosθ=3cosθ, que dá cosθ=1/2, ou seja θ=±π/3.
Entre θ=−π/3 e θ=π/3 temos cosθ≥1/2, o que implica 3cosθ≥1+cosθ. Isso mostra que, nesse intervalo, o círculo r=3cosθ é a fronteira externa e a cardióide r=1+cosθ é a fronteira interna do nosso ‘luneta’.

Passo 3

A área entre duas curvas em coordenadas polares é A=½∫(r_externa²−r_interna²)dθ. Aqui
A=12integral-pi/3^pi/3l[(3costheta)^2-(1+costheta)^2r]dtheta

Passo 4

Expandindo o integrando:
(3costheta)^2-(1+costheta)^2=9cos^2theta-(1+2costheta+cos^2theta)=8cos^2theta-2costheta-1

Passo 5

Usando cos^2theta=(1+cos2theta)/2, o integrando vira
8cdot1+cos2theta2-2costheta-1=4+4cos2theta-2costheta-1=3-2costheta+4cos2theta

Passo 6

Logo
A=12integral-pi/3^pi/3l(3-2costheta+4cos2thetar)dtheta

Passo 7

Integrando termo a termo:
integral3,dtheta=3theta, integral-2costheta,dtheta=-2sintheta, integral4cos2theta,dtheta=2sin2theta

Passo 8

Portanto, definindo
F(theta)=3theta-2sintheta+2sin2theta,

Passo 9

temos
A=12l[F(pi/3)-F(-pi/3)r]

Passo 10

Calculando:
F(pi/3)=,!;3pi3-2sinpi3+2sin2pi3=pi-2raiz32+2raiz32=pi,
F(-pi/3)=3(-tfracpi3)-2(-tfracraiz32)+2sin(-tfrac2pi3)=-pi+raiz3-2tfracraiz32=-pi,
e assim
F(pi/3)-F(-pi/3)=pi-(-pi)=2pi

Passo 11

Logo
A=12cdot2pi=pi

Resposta

pi

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