Calcule o integral de fluxo de \vec{F}=4 x \vec{i}+4 y \vec{j}+z \vec{k} sobre a superfície cortada do fundo do paraboloide z=x^{2}+y^{2} pelo plano z=1 \quad\left(-\frac{7 \pi}{2} \quad m^{3}\right)

Passo 1

Enunciado: calcular o integral de fluxo da campo vetorial \vec{F}=4x\,\vec{i}+4y\,\vec{j}+z\,\vec{k} sobre a parte da superfície do paraboloide z=x^{2}+y^{2} que é cortada pelo plano z=1. Informação importante: a curva de interseção é o círculo x^{2}+y^{2}=1 no plano z=1. O domínio sólido natural associado é a região E limitada inferiormente por z=x^{2}+y^{2} e superiormente por z=1, com projeção no plano xy igual ao disco D:\;x^{2}+y^{2}\le 1. O enunciado não especifica orientação; mais abaixo vou escolher uma orientação e explico como obter o sinal correto.

Passo 2

Escolha do método: vou usar o Teorema da Divergência (Gauss) porque ele transforma um integral de fluxo sobre uma superfície fechada numa integral tripla simples do divergente sobre o volume. Aqui conseguimos fechar a superfície juntando a parte do paraboloide com o disco plano z=1: a superfície fechada S é a união da parte do paraboloide (chamo-a S_{p}) e do disco plano no nível z=1 (chamo-o S_{pl}). Assim
\iint_{S}\vec{F}\cdot\vec{n}\,dS \;=\; \iiint_{E} \operatorname{div}\vec{F}\,dV.
Depois eu separo o fluxo total no fluxo através do disco e no fluxo através do paraboloide, e isolo o fluxo pedido. Esse caminho costuma ser muito mais rápido do que parametrizar diretamente o paraboloide.

Passo 3

Calcular o divergente de \vec{F}. Lembrando que \operatorname{div}\vec{F}=\partial(4x)/\partial x+\partial(4y)/\partial y+\partial(z)/\partial z. Calculando as derivadas parciais:
\operatorname{div}\vec{F}=4+4+1=9.
Explicação rápida: derivada de 4x em relação a x é 4, de 4y em relação a y é 4, e de z em relação a z é 1.

Passo 4

Calcular o integral triplo \iiint_{E} \operatorname{div}\vec{F}\,dV. Como \operatorname{div}\vec{F}=9 é constante, isso é 9 vezes o volume de E. Vamos achar o volume de E, a região entre z=x^{2}+y^{2} e z=1 sobre o disco D:\;x^{2}+y^{2}\le 1.
Usamos coordenadas polares: x=r\cos\theta,\;y=r\sin\theta,\;dA=r\,dr\,d\theta. O volume é
\operatorname{Vol}(E)=\iint_{D} \big(1-(x^{2}+y^{2})\big)\,dA =\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1} \big(1-r^{2}\big)\,r\,dr\,d\theta.
Calcule a integral em r:
\int_{0}^{1} (r - r^{3})\,dr =\left[\tfrac{1}{2}r^{2}-\tfrac{1}{4}r^{4}\right]_{0}^{1}=\tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{4}=\tfrac{1}{4}.
Agora em \theta:
\operatorname{Vol}(E)=\int_{0}^{2\pi} \tfrac{1}{4}\,d\theta = \tfrac{1}{4}\cdot 2\pi = \tfrac{\pi}{2}.
Portanto o integral triplo vale
\iiint_{E}\operatorname{div}\vec{F}\,dV = 9\cdot \operatorname{Vol}(E)=9\cdot \tfrac{\pi}{2}=\tfrac{9\pi}{2}.
Esse valor é o fluxo total através da superfície fechada S=S_{p}\cup S_{pl} com a normal apontando para fora do volume E.

Passo 5

Calcular o fluxo através do disco plano S_{pl} (o tampão em z=1). Para a superfície plana z=1 com a normal apontando para fora do volume E a normal é \vec{n}=\vec{k} (vetor unitário para cima), porque o volume está abaixo desse plano. Em z=1 temos \vec{F}=(4x,4y,1). O produto escalar com \vec{n}=\vec{k} é \vec{F}\cdot\vec{n}=1. Logo o fluxo pelo disco é simplesmente a área do disco:
\iint_{S_{pl}}\vec{F}\cdot\vec{n}\,dS = \iint_{D} 1\,dA = \text{Área}(D)=\pi\cdot 1^{2}=\pi.Á

Passo 6

Usando a relação fluxo total = fluxo pelo disco + fluxo pelo paraboloide (com orientação para fora do volume), temos
\iint_{S_{p}}\vec{F}\cdot\vec{n}\,dS \;=\; \iiint_{E}\operatorname{div}\vec{F}\,dV \;-\; \iint_{S_{pl}}\vec{F}\cdot\vec{n}\,dS.
Substituindo os valores obtidos:
\iint_{S_{p}}\vec{F}\cdot\vec{n}\,dS = \tfrac{9\pi}{2} - \pi = \tfrac{7\pi}{2}.
Esse resultado é o fluxo através da parte do paraboloide com a normal apontando para fora do volume E (ou seja, a normal que aponta para baixo/para fora da “tigela”).

Passo 7

Orientação final e sinal: se o enunciado pede o fluxo através da superfície do paraboloide com a normal apontando para cima (no sentido de aumentar z, ou seja, para o mesmo lado do eixo positivo z), essa normal é oposta à normal “para fora” que usamos no Teorema da Divergência. Portanto, o fluxo com normal para cima é o negativo do valor do passo anterior:
\iint_{S_{p}} \vec{F}\cdot\vec{n}_{\text{para cima}}\,dS = -\tfrac{7\pi}{2}.
Como o enunciado trouxe o valor -\tfrac{7\pi}{2} entre parênteses, assumo que essa era a orientação desejada (normal apontando para cima).

Resposta

-\dfrac{7\pi}{2}\\ \text{m}^{3}

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