Calcule o integral de fluxo de
sobre a superfície cortada do fundo do paraboloide
pelo plano
Passo 1
Enunciado: calcular o integral de fluxo da campo vetorial
sobre a parte da superfície do paraboloide
que é cortada pelo plano
. Informação importante: a curva de interseção é o círculo
no plano
. O domínio sólido natural associado é a região
limitada inferiormente por
e superiormente por
, com projeção no plano
igual ao disco
. O enunciado não especifica orientação; mais abaixo vou escolher uma orientação e explico como obter o sinal correto.
Passo 2
Escolha do método: vou usar o Teorema da Divergência (Gauss) porque ele transforma um integral de fluxo sobre uma superfície fechada numa integral tripla simples do divergente sobre o volume. Aqui conseguimos fechar a superfície juntando a parte do paraboloide com o disco plano
: a superfície fechada
é a união da parte do paraboloide (chamo-a
) e do disco plano no nível
(chamo-o
). Assim
Depois eu separo o fluxo total no fluxo através do disco e no fluxo através do paraboloide, e isolo o fluxo pedido. Esse caminho costuma ser muito mais rápido do que parametrizar diretamente o paraboloide.
Passo 3
Calcular o divergente de
. Lembrando que
. Calculando as derivadas parciais:
Explicação rápida: derivada de
em relação a
é
, de
em relação a
é
, e de
em relação a
é
.
Passo 4
Calcular o integral triplo
. Como
é constante, isso é
vezes o volume de
. Vamos achar o volume de
, a região entre
e
sobre o disco
.
Usamos coordenadas polares: . O volume é
Usamos coordenadas polares:
Calcule a integral em
:
Agora em
:
Portanto o integral triplo vale
Esse valor é o fluxo total através da superfície fechada
com a normal apontando para fora do volume
.
Passo 5
Calcular o fluxo através do disco plano
(o tampão em
). Para a superfície plana
com a normal apontando para fora do volume
a normal é
(vetor unitário para cima), porque o volume está abaixo desse plano. Em
temos
. O produto escalar com
é
. Logo o fluxo pelo disco é simplesmente a área do disco:
Passo 6
Usando a relação fluxo total = fluxo pelo disco + fluxo pelo paraboloide (com orientação para fora do volume), temos
Substituindo os valores obtidos:
Esse resultado é o fluxo através da parte do paraboloide com a normal apontando para fora do volume
(ou seja, a normal que aponta para baixo/para fora da “tigela”).
Passo 7
Orientação final e sinal: se o enunciado pede o fluxo através da superfície do paraboloide com a normal apontando para cima (no sentido de aumentar
, ou seja, para o mesmo lado do eixo positivo
), essa normal é oposta à normal “para fora” que usamos no Teorema da Divergência. Portanto, o fluxo com normal para cima é o negativo do valor do passo anterior:
Como o enunciado trouxe o valor
entre parênteses, assumo que essa era a orientação desejada (normal apontando para cima).