O enunciado pede a parametrização da superfície obtida ao girar o círculo (x-2)^{2}+z^{2}=1 em torno do eixo z.\n
Informações dadas:
O círculo está no plano y=0 (plano xz), centrado em (2,0,0) com raio 1, pois a equação é (x-2)^{2}+z^{2}=1.\n
A superfície é obtida por rotação desse círculo ao redor do eixo z.\n
Precisamos fornecer uma parametrização \vec{r}(\theta,t) que descreva todos os pontos da superfície, indicando também o domínio dos parâmetros.
Passo 2
Vamos parametrizar primeiro o círculo gerador (antes da rotação).\n
Um círculo de raio 1 no plano xz, centrado em (2,0) (coordenadas x e z) pode ser parametrizado usando um ângulo t como segue:
x-2=\cos t,\qquad z=\sin t,\qquad y=0.
Explicação rápida: o par (\cos t,\sin t) percorre o círculo unitário no plano; deslocando x por +2 deslocamos o centro para x=2. Verificação: (x-2)^{2}+z^{2}=\cos^{2}t+\sin^{2}t=1.
Passo 3
Agora vamos entender a rotação em torno do eixo z.\n
Rotacionar um ponto (x,y,z) por um ângulo \theta em torno do eixo z aplica a matriz de rotação no plano xy:
Isso significa que z permanece igual e as coordenadas x,y giram no plano. No nosso caso o ponto inicial do círculo tem y=0, então a rotação simplifica para
Domínio natural dos parâmetros: 0\le \theta\le 2\pi e 0\le t\le 2\pi. Pequena checagem: para t=0 temos raio 2+\cos 0=3 no plano z=0 (circunferência externa), e para t=\pi temos raio 2+\cos\pi=1 (circunferência interna) — isso mostra que a superfície é o toro esperado.