Encontre a parametrização da superfície obtida girando o círculo (\mathrm{x}-2)^{2}+\mathrm{z}^{2}=1 em volta do eixo z .
(\vec{r}(\theta, r)=(2+\cos (t)) \cos (\theta) \vec{i}+(2+\cos (t)) \cos (\theta) \sin (\theta) \vec{j}+\sin (t) \vec{k}, 0 \leq \theta \leq 2 \pi, 0 \leq t \leq 2 \pi)

Passo 1

O enunciado pede a parametrização da superfície obtida ao girar o círculo (x-2)^{2}+z^{2}=1 em torno do eixo z.\n
Informações dadas:
  • O círculo está no plano y=0 (plano xz), centrado em (2,0,0) com raio 1, pois a equação é (x-2)^{2}+z^{2}=1.\n
  • A superfície é obtida por rotação desse círculo ao redor do eixo z.\n
  • Precisamos fornecer uma parametrização \vec{r}(\theta,t) que descreva todos os pontos da superfície, indicando também o domínio dos parâmetros.

Passo 2

Vamos parametrizar primeiro o círculo gerador (antes da rotação).\n
Um círculo de raio 1 no plano xz, centrado em (2,0) (coordenadas x e z) pode ser parametrizado usando um ângulo t como segue:
x-2=\cos t,\qquad z=\sin t,\qquad y=0.
Explicação rápida: o par (\cos t,\sin t) percorre o círculo unitário no plano; deslocando x por +2 deslocamos o centro para x=2. Verificação: (x-2)^{2}+z^{2}=\cos^{2}t+\sin^{2}t=1.

Passo 3

Agora vamos entender a rotação em torno do eixo z.\n
Rotacionar um ponto (x,y,z) por um ângulo \theta em torno do eixo z aplica a matriz de rotação no plano xy:
\begin{pmatrix} x'\\[4pt] y'\\[4pt] z' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta & 0\\[4pt] \sin\theta & \cos\theta & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\[4pt] y\\[4pt] z \end{pmatrix}.
Isso significa que z permanece igual e as coordenadas x,y giram no plano. No nosso caso o ponto inicial do círculo tem y=0, então a rotação simplifica para
x' = x\cos\theta,\qquad y' = x\sin\theta,\qquad z' = z.]

Passo 4

Aplicamos a rotação ao ponto do círculo parametrizado em t. Substituindo x=2+\cos t e z=\sin t na expressão da rotação obtemos:
x(\theta,t)=(2+\cos t)\cos\theta,
y(\theta,t)=(2+\cos t)\sin\theta,
z(\theta,t)=\sin t.
Aqui t percorre o círculo gerador e \theta é o ângulo de rotação em torno de z.

Passo 5

Escrevendo em forma vetorial, usando os vetores unitários \vec{i},\vec{j},\vec{k}, a parametrização fica
\vec{r}(\theta,t)=(2+\cos t)\cos\theta\,\vec{i}+(2+\cos t)\sin\theta\,\vec{j}+\sin t\,\vec{k}.
Domínio natural dos parâmetros: 0\le \theta\le 2\pi e 0\le t\le 2\pi. Pequena checagem: para t=0 temos raio 2+\cos 0=3 no plano z=0 (circunferência externa), e para t=\pi temos raio 2+\cos\pi=1 (circunferência interna) — isso mostra que a superfície é o toro esperado.

Resposta

\vec{r}(\theta,t)=(2+\cos t)\cos\theta\,\vec{i}+(2+\cos t)\sin\theta\,\vec{j}+\sin t\,\vec{k}
0\le \theta\le 2\pi,\quad 0\le t\le 2\pi

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