Calcule f^{\prime}(x) nos itens abaixo
f(x)=e^{3 x} \operatorname{arcsen}(2 x)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada f'(x) da função
f(x)=e^{3x}\operatorname{arcsen}(2x).
Informações dadas:
\,f(x)=e^{3x}\operatorname{arcsen}(2x).
A tarefa é encontrar f'(x) — ou seja, a taxa de variação de f em relação a x.

Passo 2

Vamos identificar as partes da função e lembrar as fórmulas que vamos usar (aqui eu explico passo a passo, bem devagarinho):
Defina
u(x)=e^{3x},\qquad v(x)=\operatorname{arcsen}(2x),
então f(x)=u(x)\,v(x). Para derivar um produto usamos a regra do produto:
(uv)'=u'v+uv'.
Também precisamos da regra da cadeia para funções compostas:
  • Se h(x)=e^{g(x)}, então h'(x)=e^{g(x)}\cdot g'(x). Aqui g(x) é a função interna.
  • Se h(x)=\operatorname{arcsen}(g(x)), então
h'(x)=\frac{g'(x)}{\sqrt{1-\bigl(g(x)\bigr)^{2}}}.
Nessas fórmulas, g'(x) é a derivada da função interna g(x). Vou aplicar isso a u e v.

Passo 3

Derivando u(x)=e^{3x} usando a regra da cadeia:
a função interna é g(x)=3x e g'(x)=3. Logo
u'(x)=e^{3x}\cdot 3=3e^{3x}.
Explicando: a derivada de e^{t} em relação a t é e^{t}, e multiplicamos pela derivada de t=3x, que é 3.

Passo 4

Derivando v(x)=\operatorname{arcsen}(2x) usando regra da cadeia:
a função interna é g(x)=2x e g'(x)=2. Pela fórmula da derivada da arcsen,
v'(x)=\frac{2}{\sqrt{1-(2x)^{2}}}=\frac{2}{\sqrt{1-4x^{2}}}.
Explicando: a derivada de \operatorname{arcsen}(t) em relação a t é 1/\sqrt{1-t^{2}}; depois multiplicamos por g'(x)=2.

Passo 5

Agora aplicamos a regra do produto:
f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
Substituindo u,u',v,v' que calculamos:
f'(x)=\bigl(3e^{3x}\bigr)\operatorname{arcsen}(2x)+e^{3x}\cdot\frac{2}{\sqrt{1-4x^{2}}}.

Passo 6

Podemos fatorar e^{3x} para deixar a expressão mais bonita e prática para usar na prova:
f'(x)=e^{3x}\left(3\operatorname{arcsen}(2x)+\frac{2}{\sqrt{1-4x^{2}}}\right).
Essa é a forma final simplificada.

Passo 7

Observação importante sobre domínio (útil na prova): a função \operatorname{arcsen}(2x) exige |2x|\le 1, ou seja |x|\le \tfrac{1}{2}. A derivada indicada acima envolve \sqrt{1-4x^{2}} no denominador, que é zero em x=\pm\tfrac{1}{2}; portanto a fórmula da derivada vale para |x|<\tfrac{1}{2}. Nos pontos x=\pm\tfrac{1}{2} a derivada não está definida pelo termo 1/\sqrt{1-4x^{2}}.

Passo 8

Exemplo rápido para treinar (mesma técnica): se g(x)=e^{2x}\operatorname{arcsen}(x), então
g'(x)=2e^{2x}\operatorname{arcsen}(x)+e^{2x}\cdot\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}=e^{2x}\!\left(2\operatorname{arcsen}(x)+\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\right).
Serve pra fixar a ideia: produto + regra da cadeia.

Resposta

f'(x)=e^{3x}\left(3\operatorname{arcsen}(2x)+\frac{2}{\sqrt{1-4x^{2}}}\right)

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