Calcule
nos itens abaixo
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada
da função
Informações dadas:
.
A tarefa é encontrar — ou seja, a taxa de variação de
em relação a
.
A tarefa é encontrar
Passo 2
Vamos identificar as partes da função e lembrar as fórmulas que vamos usar (aqui eu explico passo a passo, bem devagarinho):
Defina
Defina
então
. Para derivar um produto usamos a regra do produto:
Também precisamos da regra da cadeia para funções compostas:
- Se
, então . Aqui é a função interna. - Se
, então
Nessas fórmulas,
é a derivada da função interna
. Vou aplicar isso a
e
.
Passo 3
Derivando
usando a regra da cadeia:
a função interna é e
. Logo
a função interna é
Explicando: a derivada de
em relação a
é
, e multiplicamos pela derivada de
, que é
.
Passo 4
Derivando
usando regra da cadeia:
a função interna é e
. Pela fórmula da derivada da arcsen,
a função interna é
Explicando: a derivada de
em relação a
é
; depois multiplicamos por
.
Passo 5
Agora aplicamos a regra do produto:
Substituindo
que calculamos:
Passo 6
Podemos fatorar
para deixar a expressão mais bonita e prática para usar na prova:
Essa é a forma final simplificada.
Passo 7
Observação importante sobre domínio (útil na prova): a função
exige
, ou seja
. A derivada indicada acima envolve
no denominador, que é zero em
; portanto a fórmula da derivada vale para
. Nos pontos
a derivada não está definida pelo termo
.
Passo 8
Exemplo rápido para treinar (mesma técnica): se
, então
Serve pra fixar a ideia: produto + regra da cadeia.