Calcule a integral da forma diferencial x d x+y d y ao longo da curva gamma(t)=(arctg t, sent^3) com 0 <= t <= 1.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha da 1-forma
omega = x,dx + y,dy
ao longo da curva gamma(t) = l(arctan t,;sin(t^3)r) para 0<= t<=1.
O conteúdo é integral de formas diferenciais e o que vamos precisar é reconhecer que esta forma é exata e aplicar o Teorema Fundamental das Integrais de Linha.

Passo 2

Verificamos que omega é exata se existe F(x,y) tal que dF = omega. Escrevendo
dF = Fx,dx + Fy,dy = x,dx + y,dy,
vemos que basta ter
Fx = x, Fy = y
Isso leva a
F(x,y) = 12x^2 + 12y^2 + C
Como só interessa diferença de valores, podemos tomar C=0.

Passo 3

Pelo Teorema Fundamental das Integrais de Linha,
integralgammaomega = Fl(gamma(1)r) - Fl(gamma(0)r)
Calculamos os extremos da curva:
gamma(1) = l(arctan(1),,sin(1^3)r) = l(tfracpi4,,sin(1)r),
gamma(0) = l(arctan(0),,sin(0^3)r) = (0,0)

Passo 4

Substituindo em F,
Fl(gamma(1)r) = 12l(tfracpi4r)^2 + 12sin^2(1), Fl(gamma(0)r) = 0
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integralgamma(x,dx + y,dy) = 12l(l(tfracpi4r)^2 + sin^2(1)r)

Resposta

12l(l(tfracpi4r)^2 + sin^2(1)r)

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