Calcule a integral da função f(z)=cos (z / 2) pelo caminho formado pelos segmentos retos ligando os pontos z=0, z=-i, z=-1, z=pi+2 i.

Passo 1

O enunciado pede a integral complexa
integralgamma cosl(tfrac z2r),dz
onde gamma é o caminho poligonal que vai de z=0 a z=-i, depois a z=-1 e finalmente a z=pi+2i. Como cos(z/2) é inteira, podemos resolver usando primitiva.

Passo 2

Procuramos uma função F(z) tal que F'(z)=cos(z/2). Como
ddzl[sin(z/2)r] =tfrac12cos(z/2),
fica claro que
F(z)=2,sinl(tfrac z2r)
é uma primitiva de cos(z/2).

Passo 3

Pela propriedade de primitiva, a integral independe do caminho e vale
integralgamma cosl(tfrac z2r),dz =Fl(zrm finalr)-Fl(zrm inicialr) =F(pi+2i)-F(0)

Passo 4

Calculamos
F(pi+2i) =2sin!l(tfracpi+2i2r) =2sinl(tfracpi2 + ir)
Usando sin(a+ib)=sin a,cosh b + icos a,sinh b, vem
sinl(tfracpi2+ir) =sintfracpi2,cosh1 + icostfracpi2,sinh1 =1cdotcosh1 + icdot0 =cosh1
E F(0)=2sin0=0. Portanto
integralgamma cosl(tfrac z2r),dz =2cosh1 - 0 = 2cosh1

Resposta

2cosh(1)

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