Calcule a integral da função f(z)=(z-2-i)^-1 no sentido anti-horário (também chamado positivo) pelo caminho fechado que é a fronteira do retângulo 0 <= x <= 3,0 <= y <= 2.

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha
ointpartial R f(z),dz,
onde f(z)=1z-2-i e partial R é a fronteira do retângulo
0<= x<=3, 0<= y<=2
percorrido no sentido anti-horário. O conteúdo principal aqui é o Teorema dos Resíduos: para funções meromorfas, a integral em contorno fechado vale 2pi i vezes a soma dos resíduos dos polos internos.

Passo 2

Identificamos que f tem um único polo simples em
z0=2+i,
pois é aí que o denominador z-2-i se anula. Como 2+i satisfaz 0<=Re(z0)<=3 e 0<=Im(z0)<=2, esse polo está dentro do retângulo.

Passo 3

Para um polo simples em , o resíduo de é simplesmente

Passo 4

Pelo Teorema dos Resíduos,

Resposta

2pi i

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