Calcule a integral
onde o caminho
é quadrado
, no sentido horário.
Passo 1
O enunciado pede para calcular
onde
é o contorno do quadrado de vértices
,
,
,
, percorrido no sentido horário.
Conteúdo: Teorema de Cauchy e Teorema dos Resíduos. Precisamos verificar onde estão as singularidades e se podemos aplicar o Teorema de Cauchy/Resíduos.
Conteúdo: Teorema de Cauchy e Teorema dos Resíduos. Precisamos verificar onde estão as singularidades e se podemos aplicar o Teorema de Cauchy/Resíduos.
Passo 2
Identificamos que o integrando
possui polos simples em
possui polos simples em
Passo 3
Para usar Cauchy ou Resíduos, o integrando deve ser analítico em uma vizinhança do contorno
e de seu interior. Aqui, os polos em
e
ficam exatamente nos vértices de
, ou seja, sobre o caminho de integração.
Passo 4
Como a função não é analítica sobre o contorno (há singularidades em pontos do próprio
), não se pode aplicar diretamente o Teorema de Cauchy nem o Teorema dos Resíduos. Logo, a integral não está bem-definida no sentido usual.
Resposta
A integral não existe (não está bem-definida), pois há polos exatamente sobre o contorno de integração.