Calcule a integral
ointC e^z(z^2-4) d z
onde o caminho C é quadrado z=-2, z=2, z=2+4 i, z=-2+4 i, no sentido horário.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
ointCe^zz^2-4,dz
onde C é o contorno do quadrado de vértices -2, 2, 2+4i, -2+4i, percorrido no sentido horário.
Conteúdo: Teorema de Cauchy e Teorema dos Resíduos. Precisamos verificar onde estão as singularidades e se podemos aplicar o Teorema de Cauchy/Resíduos.

Passo 2

Identificamos que o integrando
e^zz^2-4
possui polos simples em
z^2-4=0 Longrightarrow z=2, z=-2

Passo 3

Para usar Cauchy ou Resíduos, o integrando deve ser analítico em uma vizinhança do contorno C e de seu interior. Aqui, os polos em z=2 e z=-2 ficam exatamente nos vértices de C, ou seja, sobre o caminho de integração.

Passo 4

Como a função não é analítica sobre o contorno (há singularidades em pontos do próprio C), não se pode aplicar diretamente o Teorema de Cauchy nem o Teorema dos Resíduos. Logo, a integral não está bem-definida no sentido usual.

Resposta

A integral não existe (não está bem-definida), pois há polos exatamente sobre o contorno de integração.

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