Calcule a integral da função
pelos seguintes caminhos
Iniciando no eixo real e no sentido anti-horário o círculo de raio 2 centrado na origem.
Iniciando no eixo real e no sentido anti-horário o círculo de raio 2 centrado na origem.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de contorno
onde
é o círculo de raio
centrado na origem, percorrido no sentido anti-horário a partir do eixo real positivo. O conteúdo envolvido é cálculo de integrais de funções meromorfas em contornos fechados, usando a decomposição em partes simples ou o Teorema dos Resíduos.
Passo 2
Escrevemos a função como soma de duas parcelas mais simples:
Pela linearidade da integral de contorno,
Passo 3
A primeira integral é
pois a integral de uma função constante ao longo de um caminho fechado sempre se anula.
Passo 4
A segunda integral é
Pelo Teorema de Cauchy (ou pelo cálculo direto do resíduo em
), sabe-se que
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