Calcule a integral da função f(z)=(z+2) / z pelos seguintes caminhos
Iniciando no eixo real e no sentido anti-horário o círculo de raio 2 centrado na origem.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de contorno
ointC z+2z,dz
onde C é o círculo de raio 2 centrado na origem, percorrido no sentido anti-horário a partir do eixo real positivo. O conteúdo envolvido é cálculo de integrais de funções meromorfas em contornos fechados, usando a decomposição em partes simples ou o Teorema dos Resíduos.

Passo 2

Escrevemos a função como soma de duas parcelas mais simples:
z+2z = 1 + 2z
Pela linearidade da integral de contorno,
ointC z+2z,dz = ointC1,dz ;+;ointC2z,dz

Passo 3

A primeira integral é
ointC1,dz = 0,
pois a integral de uma função constante ao longo de um caminho fechado sempre se anula.

Passo 4

A segunda integral é
ointC2z,dz = 2;ointC1z,dz
Pelo Teorema de Cauchy (ou pelo cálculo direto do resíduo em z=0), sabe-se que
ointC1z,dz = 2pi i
Logo,
ointC2z,dz = 2cdot 2pi i = 4pi i

Resposta

4pi i

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