Calcule a integral da função f(z)=(z+2) / z pelos seguintes caminhos
No sentido anti-horário, a metade do círculo acima do eixo real de raio 2 centrado na origem.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
integralCz+2z,dz
onde C é a metade do círculo lvert zrvert=2 acima do eixo real, percorrido no sentido anti-horário.
O conteúdo aqui é integral de contorno em C via parametrização da curva.

Passo 2

Parametrizamos C por
z(theta)=2e^itheta, thetain[0,pi],
portanto
dz=2i,e^itheta,dtheta

Passo 3

Substituindo na integral, temos
z+2z,dz =2(e^itheta+1)2e^itheta;2i,e^itheta,dtheta =2il(e^itheta+1r),dtheta

Passo 4

Agora integramos em theta:
integral0^pi2il(e^itheta+1r),dtheta =2iintegral0^pie^itheta,dtheta +2iintegral0^pi1,dtheta
Como
integral0^pie^itheta,dtheta =e^ithetai|0^pi =-1-1i=-2i=2i
e
integral0^pi1,dtheta=pi, segue
2icdot 2i +2icdotpi =-4+2pi i

Resposta

-4 + 2pi i

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