Calcule a integral da função f(z)=(z+2) / z pelos seguintes caminhos
No sentido horário, a metade do círculo abaixo do eixo real de raio 2 centrado na origem.

Passo 1

O enunciado pede a integral de
f(z)=z+2z
sobre o arco C que é a metade do círculo de raio 2 centrado na origem, situada abaixo do eixo real e percorrida no sentido horário. Vamos usar parametrização de contorno e calcular diretamente.

Passo 2

Parametrizamos o arco C por
gamma(t)=2e^it, tin[0,,-pi],
que vai de 2 (quando t=0) até -2 (quando t=-pi) no sentido horário. Então
dgamma(t)=2i,e^it,dt

Passo 3

Reescrevemos o integrando separando em duas parcelas:
z+2z=1+2z
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integralCz+2z,dz =integralC1,dz+2integralC1z,dz

Passo 4

Calculamos
integralC1,dz =integralt=0^-,pidl(gamma(t)r) =gamma(-pi)-gamma(0) =2e^-ipi-2e^0 =-2-2 =-4

Passo 5

E
integralC1z,dz =integral0^-,pi12e^itl(2i,e^itr),dt =integral0^-,pii,dt =il(-pi-0r) =-ipi
Multiplicando por 2
2integralC1z,dz=-2ipi

Passo 6

Somando os dois termos,
integralCz+2z,dz =-4+(-2ipi) =-4-2ipi

Resposta

integralCz+2z,dz=-4-2ipi

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