Verifique se exp (i barz) stackrel?= exp (i z), cos (i barz) stackrel?= cos (i z), sin (i barz) stackrel?= sin (i z).

Passo 1

O enunciado pede para verificar as igualdades
exp(ibar z)stackrel?=exp(i z),
cos(ibar z)stackrel?=cos(i z) e
sin(ibar z)stackrel?=sin(i z).
O que vamos usar são as propriedades
  1. w1w2=w1,w2,
  2. exp(w)=exp(w),
  3. as definições
    cos w=(e^iw+e^-iw)/2 e
    sin w=(e^iw-e^-iw)/(2i).

Passo 2

Verificando exp(ibar z)stackrel?=exp(i z):
exp(i z) =expl(i zr) =expl(i,zr) =expl(-i,zr)
Compare com exp(ibar z). Eles coincidem só se
exp(ibar z)=exp(-ibar z), o que não é verdade em geral.
Portanto a primeira igualdade falha.

Passo 3

Verificando cos(ibar z)stackrel?=cos(i z):
cos(ibar z) =e^,i(ibar z)+e^-,i(ibar z)2 =e^-bar z+e^bar z2,
enquanto
cos(i z) =e^-z+e^z2 =e^-bar z+e^bar z2
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cos(ibar z)=cos(i z) vale exatamente.

Passo 4

Verificando sin(ibar z)stackrel?=sin(i z):
sin(ibar z) =e^,i(ibar z)-e^-,i(ibar z)2i =e^-bar z-e^bar z2i,
enquanto
sin(i z) =e^-z-e^z2i =e^-bar z-e^bar z2i =e^-bar z-e^bar z-2i =-e^-bar z-e^bar z2i
Portanto
sin(ibar z)=-,sin(i z) e não coincide.

Resposta

exp(ibar z)neqexp(i z)
cos(ibar z)=cos(i z)
sin(ibar z)neqsin(i z)

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