Calcule a integral da função
sobre a região delimitada pelo eixo
, pela curva
e pela reta
Escolha uma opção:
a.
b.
c.
d.
e.
Escolha uma opção:
a.
b.
c.
d.
e.
Passo 1
Vamos lá! O exercício pede para calcular a integral da função $ f(x, y) = -x - 6y + 5 $ sobre uma região delimitada pelo eixo $ y $, pela curva $ y = x $ e pela reta $ y = 2 $. Isso envolve conhecimentos de cálculo integral, especificamente integrais duplas e a definição de regiões de integração.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender bem a região onde vamos integrar. Vamos desenhar as curvas para visualizar:
- O eixo $ y $ é simplesmente a linha $ x = 0 $.
- A curva $ y = x $ é uma reta que passa pela origem com inclinação 45 graus.
- A reta $ y = 2 $ é uma linha horizontal que corta o eixo $ y $ no ponto 2.
Então, a região de integração é um triângulo limitado por essas três curvas. Para facilitar, vamos determinar os limites de integração para $ x $ e $ y $.
Passo 3
Observando a região:
- A variável $ y $ varia de 0 até 2.
- Para cada valor de $ y $, o $ x $ vai de 0 até $ y $ (porque $ y = x $ implica $ x = y $).
Então, podemos definir os limites de integração como:
Passo 4
Agora, vamos escrever a integral dupla com esses limites:
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a $ x $.
Passo 5
Integrando a função $ -x - 6y + 5 $ em relação a $ x $:
Avaliei a antiderivada nos limites de $ x = y $ e $ x = 0 $:
Passo 6
Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa em relação a $ y $:
Vamos resolver essa integral.
Passo 7
Integrando $ -\frac{13}{2}y^2 + 5y $ em relação a $ y $:
Avaliado de $ y = 0 $ a $ y = 2 $:
Resposta
A integral da função sobre a região dada é $ -\frac{22}{3} $. Portanto, a opção correta é a letra a. $ -\frac{22}{3} $.