Calcule a integral da função f(x, y)=-x-6 y+5 sobre a região delimitada pelo eixo y, pela curva y=x e pela reta y=2
Escolha uma opção:
a. -223
b. -283
c. -193
d. -253
e. -163

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para calcular a integral da função $ f(x, y) = -x - 6y + 5 $ sobre uma região delimitada pelo eixo $ y $, pela curva $ y = x $ e pela reta $ y = 2 $. Isso envolve conhecimentos de cálculo integral, especificamente integrais duplas e a definição de regiões de integração.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender bem a região onde vamos integrar. Vamos desenhar as curvas para visualizar:
  • O eixo $ y $ é simplesmente a linha $ x = 0 $.
  • A curva $ y = x $ é uma reta que passa pela origem com inclinação 45 graus.
  • A reta $ y = 2 $ é uma linha horizontal que corta o eixo $ y $ no ponto 2.
Então, a região de integração é um triângulo limitado por essas três curvas. Para facilitar, vamos determinar os limites de integração para $ x $ e $ y $.

Passo 3

Observando a região:
  • A variável $ y $ varia de 0 até 2.
  • Para cada valor de $ y $, o $ x $ vai de 0 até $ y $ (porque $ y = x $ implica $ x = y $).
Então, podemos definir os limites de integração como:
y

Passo 4

Agora, vamos escrever a integral dupla com esses limites:
integral0^2 integral0^y (-x - 6y + 5) , dx , dy
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a $ x $.

Passo 5

Integrando a função $ -x - 6y + 5 $ em relação a $ x $:
-x - 6y + 5
Avaliei a antiderivada nos limites de $ x = y $ e $ x = 0 $:
x

Passo 6

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa em relação a $ y $:
y
Vamos resolver essa integral.

Passo 7

Integrando $ -\frac{13}{2}y^2 + 5y $ em relação a $ y $:
-132y^2 + 5y
Avaliado de $ y = 0 $ a $ y = 2 $:
y

Resposta

A integral da função sobre a região dada é $ -\frac{22}{3} $. Portanto, a opção correta é a letra a. $ -\frac{22}{3} $.

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