Exercício 7. Verifique se as funções abaixo são diferenciáveis no ponto ( 0,0 ):
f(x, y)= x sin (1y), & se y neq 0 0, & se y=0

Passo 1

O enunciado pede pra verificar se a função
f(x,y)=x,sin(1y),&yneq00,&y=0
é diferenciável no ponto (0,0). O conteúdo é diferenciabilidade de funções de duas variáveis. Vamos precisar calcular as derivadas parciais em (0,0) e depois usar a definição de diferencial para ver se o erro de aproximação é pequeno o suficiente.

Passo 2

Primeiro, calculamos as derivadas parciais em (0,0) usando limites. Para fx(0,0):
f(h,0)-f(0,0)h=0-0h=0
quando hto0. Logo, fx(0,0)=0. De modo análogo, para fy(0,0):
f(0,k)-f(0,0)k=0-0k=0
quando kto0. Logo, fy(0,0)=0.

Passo 3

Com as derivadas parciais, o candidato a linearização (aproximação afim) em (0,0) é
L(x,y)=f(0,0)+fx(0,0)x+fy(0,0)y=0
A definição de diferenciabilidade exige que
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)-L(x,y)raizx^2+y^2=0
Aqui f(x,y)-L(x,y)=xsin(1/y) quando yneq0.

Passo 4

Agora examinamos o quociente
|f(x,y)-L(x,y)|raizx^2+y^2=|xsin(1/y)|raizx^2+y^2<=|x|raizx^2+y^2
Para ver se isso vai a zero, escolhemos a reta x=y. Então
quando |ysin(1/y)|raiz2,y^2=|sin(1/y)|raiz2n .

Passo 5

Como sin(1/y) oscila entre -1 e 1, esse limite não existe (nem tende a zero), mas sim oscila entre pm1/raiz2. Portanto a condição de diferenciabilidade falha.

Passo 6

Conclusão: a função não satisfaz a definição de diferenciabilidade em (0,0), pois o erro normalizado não tende a zero.

Resposta

A função não é diferenciável no ponto (0,0).

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