Exercício 7. Verifique se as funções abaixo são diferenciáveis no ponto ( 0,0 ):
Passo 1
O enunciado pede pra verificar se a função
é diferenciável no ponto (0,0). O conteúdo é diferenciabilidade de funções de duas variáveis. Vamos precisar calcular as derivadas parciais em (0,0) e depois usar a definição de diferencial para ver se o erro de aproximação é pequeno o suficiente.
Passo 2
Primeiro, calculamos as derivadas parciais em (0,0) usando limites. Para
:
quando
. Logo,
. De modo análogo, para
:
quando
. Logo,
.
Passo 3
Com as derivadas parciais, o candidato a linearização (aproximação afim) em (0,0) é
A definição de diferenciabilidade exige que
Aqui
quando
.
Passo 4
Agora examinamos o quociente
Para ver se isso vai a zero, escolhemos a reta
. Então
quando
.
Passo 5
Como
oscila entre -1 e 1, esse limite não existe (nem tende a zero), mas sim oscila entre
. Portanto a condição de diferenciabilidade falha.
Passo 6
Conclusão: a função não satisfaz a definição de diferenciabilidade em (0,0), pois o erro normalizado não tende a zero.
Resposta
A função não é diferenciável no ponto (0,0).