Calcule a integral das funções racionais pelo método das frações parciais.
\int \frac{10}{(x-1)\left(x^{2}+9 \right)} d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{10}{(x-1)\left(x^{2}+9\right)}\,dx.
Informações dadas:
  • A função a integrar é a função racional \dfrac{10}{(x-1)(x^{2}+9)}.
  • O denominador já está fatorado em um fator linear \left(x-1\right) e um quadrático irreduzível \left(x^{2}+9\right).
  • Precisamos encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função.

Passo 2

Estratégia geral (sem resolver ainda): para integrar uma função racional cujo denominador é produto de fatores lineares e quadráticos irreduzíveis, usamos a decomposição em frações parciais. A ideia é escrever a fração como soma de parcelas mais simples que têm antiderivadas conhecidas (logaritmos e arctan). Aqui, como temos um fator linear e um quadrático irreduzível, a forma geral da decomposição é
\frac{10}{(x-1)(x^{2}+9)}=\frac{A}{x-1}+\frac{Bx+C}{x^{2}+9},
onde A,B,C são constantes a determinar.

Passo 3

Expliquei a forma da decomposição. Agora multiplico ambos os lados pela expressão (x-1)(x^{2}+9) para eliminar os denominadores e obter uma identidade polinomial:
10 = A(x^{2}+9) + (Bx+C)(x-1).
Essa identidade deve valer para todo x. A partir dela vamos determinar A,B,C.

Passo 4

Uso o método “cover-up” para achar A rapidamente: tomo x=1 (que anula o fator (x-1)) na identidade
10 = A(1^{2}+9) + (B\cdot1+C)(1-1).
Como (1-1)=0, o segundo termo some, então
10 = A\cdot(1+9)=A\cdot10,
portanto
A = 1.
Bom — já temos A.

Passo 5

Com A=1, volto à identidade e desenvolvo para encontrar B e C:
10 = (x^{2}+9) + (Bx+C)(x-1).
Expando (Bx+C)(x-1):
(Bx+C)(x-1)=Bx^{2}+(C-B)x - C.
Somando com x^{2}+9 obtenho
10 = (1+B)x^{2} + (C-B)x + (9 - C).

Passo 6

Agora igualo coeficientes do polinômio do lado direito com o polinômio constante 10\) (que é \(0\cdot x^{2}+0\cdot x + 10\)). Assim obtemos o sistema \[\begin{cases} 1+B = 0,\\[4pt] C-B = 0,\\[4pt] 9 - C = 10. \end{cases}
Resolvo em ordem:
  • Da primeira equação 1+B=0\] vem \(B=-1.
  • Da segunda C-B=0 vem C=B, logo C=-1.
  • A terceira 9-C=10 -C =1 e então C=-1, consistente com o anterior.
Portanto
A=1,\quad B=-1,\quad C=-1.]

Passo 7

Reescrevo a decomposição com os valores encontrados:
\frac{10}{(x-1)(x^{2}+9)} = \frac{1}{x-1} + \frac{-x-1}{x^{2}+9}.
Posso separar a segunda fração em dois termos:
\frac{-x-1}{x^{2}+9} = -\frac{x}{x^{2}+9} - \frac{1}{x^{2}+9}.
Assim a integral vira soma de três integrais mais simples:
\int \frac{10}{(x-1)(x^{2}+9)}\,dx = \int \frac{1}{x-1}\,dx - \int \frac{x}{x^{2}+9}\,dx - \int \frac{1}{x^{2}+9}\,dx.

Passo 8

Vou integrar cada termo, explicando as técnicas:
  1. Para \displaystyle \int \frac{1}{x-1}\,dx: a primitiva é o logaritmo:
\int \frac{1}{x-1}\,dx = \ln|x-1|.
(Aqui usamos que \dfrac{d}{dx}\ln|x-1| = \dfrac{1}{x-1}.)
  1. Para \displaystyle \int \frac{x}{x^{2}+9}\,dx: uso a substituição u = x^{2}+9. Então du = 2x\,dx, ou seja x\,dx = \dfrac{1}{2}\,du. Portanto
\int \frac{x}{x^{2}+9}\,dx = \int \frac{1}{2}\frac{1}{u}\,du = \frac{1}{2}\ln|u| + \text{const} = \frac{1}{2}\ln\left(x^{2}+9\right).
(Repare que x^{2}+9>0 para todo x, então podemos omitir barras de valor absoluto no \ln desse termo, escrevi \ln(x^{2}+9).)
  1. Para \displaystyle \int \frac{1}{x^{2}+9}\,dx: lembramos da fórmula padrão
\int \frac{1}{x^{2}+a^{2}}\,dx = \frac{1}{a}\arctan\!\left(\frac{x}{a}\right) + \text{const}.
Aqui a^{2}=9 então a=3. Logo
\int \frac{1}{x^{2}+9}\,dx = \frac{1}{3}\arctan\!\left(\frac{x}{3}\right).

Passo 9

Agora junto os resultados, lembrando dos sinais (o segundo e terceiro termos vinham com sinal negativo):
\int \frac{10}{(x-1)(x^{2}+9)}\,dx = \ln|x-1| - \frac{1}{2}\ln\left(x^{2}+9\right) - \frac{1}{3}\arctan\!\left(\frac{x}{3}\right) + C,
onde C é a constante de integração.

Resposta

\displaystyle \ln|x-1|-\frac{1}{2}\ln\!\left(x^{2}+9\right)-\frac{1}{3}\arctan\!\left(\frac{x}{3}\right)+C

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