Calcule a integral das funções racionais pelo método das frações parciais.
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
Informações dadas:
- A função a integrar é a função racional
. - O denominador já está fatorado em um fator linear
e um quadrático irreduzível . - Precisamos encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função.
Passo 2
Estratégia geral (sem resolver ainda): para integrar uma função racional cujo denominador é produto de fatores lineares e quadráticos irreduzíveis, usamos a decomposição em frações parciais. A ideia é escrever a fração como soma de parcelas mais simples que têm antiderivadas conhecidas (logaritmos e arctan). Aqui, como temos um fator linear e um quadrático irreduzível, a forma geral da decomposição é
onde
são constantes a determinar.
Passo 3
Expliquei a forma da decomposição. Agora multiplico ambos os lados pela expressão
para eliminar os denominadores e obter uma identidade polinomial:
Essa identidade deve valer para todo
. A partir dela vamos determinar
.
Passo 4
Uso o método “cover-up” para achar
rapidamente: tomo
(que anula o fator
) na identidade
Como
, o segundo termo some, então
portanto
Bom — já temos
.
Passo 5
Com
, volto à identidade e desenvolvo para encontrar
e
:
Expando
:
Somando com
obtenho
Passo 6
Agora igualo coeficientes do polinômio do lado direito com o polinômio constante
Resolvo em ordem:
- Da primeira equação .
- Da segunda
vem , logo . - A terceira
dá e então , consistente com o anterior.
Portanto
Passo 7
Reescrevo a decomposição com os valores encontrados:
Posso separar a segunda fração em dois termos:
Assim a integral vira soma de três integrais mais simples:
Passo 8
Vou integrar cada termo, explicando as técnicas:
- Para
: a primitiva é o logaritmo:
(Aqui usamos que
.)
- Para
: uso a substituição . Então , ou seja . Portanto
(Repare que
para todo
, então podemos omitir barras de valor absoluto no
desse termo, escrevi
.)
- Para
: lembramos da fórmula padrão
Aqui
então
. Logo
Passo 9
Agora junto os resultados, lembrando dos sinais (o segundo e terceiro termos vinham com sinal negativo):
onde
é a constante de integração.