Calcule a integral das funções racionais pelo método das frações parciais. \int \frac{x^{3}+x^{2}+2 x+1}{\left(x^{2}+1\right)\left(x^{2}+2\right)} d x.
Informações relevantes dadas: o integrando é uma função racional cuja numerador é o polinômio x^{3}+x^{2}+2x+1 e cujo denominador é o produto de dois quadráticos irreduzíveis x^{2}+1 e x^{2}+2. A tarefa é usar frações parciais para integrar.
Passo 2
Verificação do grau: o grau do numerador é 3 e o grau do denominador é 4. Como o numerador tem grau menor que o denominador, a fração é própria e podemos aplicar diretamente a decomposição em frações parciais (se fosse imprópria, primeiro faríamos divisão polinomial). Explico brevemente: frações parciais consistem em escrever a racional como soma de razões mais simples que sabemos integrar.
Passo 3
Forma da decomposição: cada fator quadrático irreduzível x^{2}+a pede um numerador linear Ax+B. Portanto assumimos a identidade
\frac{x^{3}+x^{2}+2 x+1}{\left(x^{2}+1\right)\left(x^{2}+2\right)} = \frac{A x + B}{x^{2}+1} + \frac{C x + D}{x^{2}+2},
onde A,B,C,D são constantes desconhecidas que vamos determinar. Isso porque um numerador linear é a forma mais geral que não aumentaria o grau do numerador quando somarmos as frações.
Passo 4
Multiplicando ambos os lados por \left(x^{2}+1\right)\left(x^{2}+2\right) obtemos a igualdade de polinômios
x^{3}+x^{2}+2x+1 = (A x + B)(x^{2}+2) + (C x + D)(x^{2}+1).
Passo 5
Expandimos o lado direito para igualar coeficientes. Primeiro expandindo cada termo:
(A x + B)(x^{2}+2) = A x^{3} + B x^{2} + 2A x + 2B,
(C x + D)(x^{2}+1) = C x^{3} + D x^{2} + C x + D.
Somando:
(A+C)x^{3} + (B+D)x^{2} + (2A + C)x + (2B + D).
Agora igualamos coeficientes com o polinômio do lado esquerdo x^{3}+x^{2}+2x+1. Obtemos o sistema linear:
\begin{cases} A + C = 1,\\[4pt] B + D = 1,\\[4pt] 2A + C = 2,\\[4pt] 2B + D = 1. \end{cases}]
Passo 6
Resolvendo o sistema para A,C,B,D. Subtraindo as duas equações com x^{3} e x:
(2A + C) - (A + C) = 2 - 1 \implies A = 1.
Com A=1, da primeira equação A + C = 1 segue 1 + C = 1 então
C = 0.
Agora para B e D: subtraindo as duas equações com x^{2} e termo constante,
(2B + D) - (B + D) = 1 - 1 \implies B = 0.
Com B=0, da B + D = 1 obtemos
D = 1.
Logo os coeficientes são A=1,\;B=0,\;C=0,\;D=1.
Passo 7
Substituindo esses valores na decomposição inicial temos
Integramos a primeira parcela \displaystyle \int \frac{x}{x^{2}+1}\,dx. Método: substituição simples. Seja \displaystyle u = x^{2}+1. Então \displaystyle du = 2x\,dx, ou \displaystyle x\,dx = \frac{1}{2}\,du. Assim
Observação: x^{2}+1>0 sempre, então podemos escrever \ln(x^{2}+1) sem valor absoluto, mas mantive a forma geral da substituição.
Passo 9
Integramos a segunda parcela \displaystyle \int \frac{1}{x^{2}+2}\,dx. Reconhecemos a forma padrão \displaystyle \int \frac{1}{x^{2}+a^{2}}\,dx = \frac{1}{a}\arctan\!\left(\frac{x}{a}\right) + C. Aqui a^{2}=2, logo a=\sqrt{2}. Portanto