Calcule a integral das funções racionais pelo método das frações parciais.
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
Informações relevantes fornecidas:
Passo 2
Como o numerador tem grau maior que o denominador, fazemos divisão de polinômios para separar uma parte polinomial e uma fração própria.
Dividindo
fazemos
vezes o divisor:
Subtraindo do numerador:
Portanto a divisão dá
Passo 3
Agora escrevemos a integral como soma:
A primeira integral é direta:
Explico: a regra é
; aqui
.
Passo 4
Separe a fração própria em duas parcelas simples:
A ideia é que a primeira parcela tem a forma cujo numerador é proporcional à derivada do denominador (útil para substituição), e a segunda tem a forma padrão
(útil para arctan).
Passo 5
Calcule a integral da primeira parcela por substituição. Tome
Então
Voltando a
:
Observação: como
para todo
, poderíamos escrever sem barras de valor absoluto, mas mantê-las é correto em geral.
Passo 6
Calcule a integral da segunda parcela usando a fórmula padrão
Aqui
. Assim
Explico a origem: se
, derivada de
é
.
Passo 7
Juntando todas as partes:
Simplificando a escrita: