Calcule a integral das funções racionais pelo método das frações parciais.
\int frac{x^{3}+4}{x^{2}+4} d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{x^{3}+4}{x^{2}+4}\,dx.
Informações relevantes fornecidas:
\text{— é uma função racional: numerador }x^{3}+4\text{ e denominador }x^{2}+4.éçã
\text{— o grau do numerador é }3\text{ e o do denominador é }2\;(\text{numerador de grau maior — integral imprópria}).ééó

Passo 2

Como o numerador tem grau maior que o denominador, fazemos divisão de polinômios para separar uma parte polinomial e uma fração própria.
Dividindo
\frac{x^{3}+4}{x^{2}+4}
fazemos x vezes o divisor:
x\cdot(x^{2}+4)=x^{3}+4x.
Subtraindo do numerador:
(x^{3}+4)-(x^{3}+4x)=-4x+4.
Portanto a divisão dá
\frac{x^{3}+4}{x^{2}+4}=x+\frac{-4x+4}{x^{2}+4}.

Passo 3

Agora escrevemos a integral como soma:
\int \frac{x^{3}+4}{x^{2}+4}\,dx=\int x\,dx+\int \frac{-4x+4}{x^{2}+4}\,dx.
A primeira integral é direta:
\int x\,dx=\frac{x^{2}}{2}.
Explico: a regra é \int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C; aqui n=1.

Passo 4

Separe a fração própria em duas parcelas simples:
\frac{-4x+4}{x^{2}+4}=\frac{-4x}{x^{2}+4}+\frac{4}{x^{2}+4}.
A ideia é que a primeira parcela tem a forma cujo numerador é proporcional à derivada do denominador (útil para substituição), e a segunda tem a forma padrão \frac{1}{x^{2}+a^{2}} (útil para arctan).

Passo 5

Calcule a integral da primeira parcela por substituição. Tome
u=x^{2}+4,\qquad du=2x\,dx.
Então
\int \frac{-4x}{x^{2}+4}\,dx = \int \frac{-4x}{u}\cdot\frac{du}{2x} = \int \frac{-2}{u}\,du = -2\ln|u| + C.
Voltando a x:
\int \frac{-4x}{x^{2}+4}\,dx = -2\ln\bigl(x^{2}+4\bigr).
Observação: como x^{2}+4>0 para todo x, poderíamos escrever sem barras de valor absoluto, mas mantê-las é correto em geral.

Passo 6

Calcule a integral da segunda parcela usando a fórmula padrão
\int \frac{1}{x^{2}+a^{2}}\,dx=\frac{1}{a}\arctan\!\left(\frac{x}{a}\right)+C.
Aqui a^{2}=4\Rightarrow a=2. Assim
\int \frac{4}{x^{2}+4}\,dx = 4\cdot\frac{1}{2}\arctan\!\left(\frac{x}{2}\right)=2\arctan\!\left(\frac{x}{2}\right).
Explico a origem: se a>0, derivada de \arctan(x/a) é \frac{1}{1+(x/a)^{2}}\cdot\frac{1}{a}=\frac{a}{a^{2}+x^{2}}\cdot\frac{1}{a}=\frac{1}{x^{2}+a^{2}}.

Passo 7

Juntando todas as partes:
\int \frac{x^{3}+4}{x^{2}+4}\,dx = \frac{x^{2}}{2} \;+\; \bigl(-2\ln(x^{2}+4)\bigr) \;+\; 2\arctan\!\left(\frac{x}{2}\right) + C.
Simplificando a escrita:
\int \frac{x^{3}+4}{x^{2}+4}\,dx = \frac{x^{2}}{2} - 2\ln\bigl(x^{2}+4\bigr) + 2\arctan\!\left(\frac{x}{2}\right) + C.

Resposta

\displaystyle \frac{x^{2}}{2}-2\ln\bigl(x^{2}+4\bigr)+2\arctan\!\left(\frac{x}{2}\right)+C

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