Calcule a integral usando a integração por partes.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
Informações dadas: o integrando é o produto de
e
. Não há outras restrições explícitas no enunciado; observe que
está definido quando
, mas podemos trabalhar com
para obter uma primitiva válida em intervalos onde
.
Passo 2
Vamos usar a integração por partes, como pede o enunciado. Primeiro eu te explico a fórmula e por que ela funciona (de modo simples): a regra do produto para derivadas diz que
Integrando ambos os lados, obtemos
que é a fórmula da integração por partes. Em forma mais habitual escrevemos:
onde
é uma função que vamos derivar (da qual obtemos
) e
é a parte que vamos integrar (da qual obtemos
).
Passo 3
Agora escolhemos
e
. Uma boa regra prática (LIATE na prática) é escolher
como a parte logarítmica porque sua derivada costuma simplificar; e escolher
como a parte facilmente integrável.
Tomamos
Tomamos
Motivo:
tem derivada simples e
é fácil de integrar.
Passo 4
Calculamos
e
.
Derivando usando a regra da cadeia:
Derivando
Integrando
:
Passo 5
Aplicamos a fórmula da integração por partes:
Substituindo
,
e
:
Passo 6
Simplificamos o integrando restante. Lembre que
, então
desde que
. Portanto a integral fica
Passo 7
Calculamos
:
Logo a primitiva geral é
Para ficar totalmente geral (válido em intervalos onde
) é melhor escrever o logaritmo com valor absoluto:
Passo 8
Para termos certeza rápida, derivamos o resultado para conferir. Seja
Derivando:
Confere com o integrando original (no domínio apropriado).