Calcule a integral usando a integração por partes.
\int \cos x \ln (\operatorname{sen} x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \cos x \ln(\operatorname{sen} x)\,dx.
Informações dadas: o integrando é o produto de \cos x e \ln(\operatorname{sen} x). Não há outras restrições explícitas no enunciado; observe que \ln(\operatorname{sen} x) está definido quando \operatorname{sen} x>0, mas podemos trabalhar com \ln|\operatorname{sen} x| para obter uma primitiva válida em intervalos onde \operatorname{sen} x\neq0.

Passo 2

Vamos usar a integração por partes, como pede o enunciado. Primeiro eu te explico a fórmula e por que ela funciona (de modo simples): a regra do produto para derivadas diz que
\frac{d}{dx}\big(u(x)v(x)\big)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
Integrando ambos os lados, obtemos
\int u'(x)v(x)\,dx = u(x)v(x) - \int u(x)v'(x)\,dx,
que é a fórmula da integração por partes. Em forma mais habitual escrevemos:
\int u\,dv = uv - \int v\,du,
onde u é uma função que vamos derivar (da qual obtemos du) e dv é a parte que vamos integrar (da qual obtemos v).

Passo 3

Agora escolhemos u e dv. Uma boa regra prática (LIATE na prática) é escolher u como a parte logarítmica porque sua derivada costuma simplificar; e escolher dv como a parte facilmente integrável.
Tomamos
u = \ln(\operatorname{sen} x),\qquad dv = \cos x\,dx.
Motivo: \ln(\operatorname{sen} x) tem derivada simples e \cos x é fácil de integrar.

Passo 4

Calculamos du e v.
Derivando u usando a regra da cadeia:
du = \frac{d}{dx}\big(\ln(\operatorname{sen} x)\big)\,dx = \frac{\cos x}{\operatorname{sen} x}\,dx = \cot x\,dx.
Integrando dv:
v = \int \cos x\,dx = \operatorname{sen} x.

Passo 5

Aplicamos a fórmula da integração por partes:
\int \cos x \ln(\operatorname{sen} x)\,dx = uv - \int v\,du.
Substituindo u, v e du:
\int \cos x \ln(\operatorname{sen} x)\,dx = \operatorname{sen} x\cdot\ln(\operatorname{sen} x) - \int \operatorname{sen} x \cdot \cot x\,dx.

Passo 6

Simplificamos o integrando restante. Lembre que \cot x=\dfrac{\cos x}{\operatorname{sen} x}, então
\operatorname{sen} x\cdot \cot x = \operatorname{sen} x\cdot\frac{\cos x}{\operatorname{sen} x}=\cos x,
desde que \operatorname{sen} x\neq0. Portanto a integral fica
\operatorname{sen} x\ln(\operatorname{sen} x) - \int \cos x\,dx.

Passo 7

Calculamos \int \cos x\,dx:
\int \cos x\,dx = \operatorname{sen} x.
Logo a primitiva geral é
\operatorname{sen} x\ln(\operatorname{sen} x) - \operatorname{sen} x + C.
Para ficar totalmente geral (válido em intervalos onde \operatorname{sen} x\neq0) é melhor escrever o logaritmo com valor absoluto:
\operatorname{sen} x\ln\big|\operatorname{sen} x\big| - \operatorname{sen} x + C.

Passo 8

Para termos certeza rápida, derivamos o resultado para conferir. Seja
F(x)=\operatorname{sen} x\ln\big|\operatorname{sen} x\big|-\operatorname{sen} x.
Derivando:
F'(x)=\cos x\ln\big|\operatorname{sen} x\big|+\operatorname{sen} x\cdot\frac{\cos x}{\operatorname{sen} x}-\cos x=\cos x\ln\big|\operatorname{sen} x\big|+\cos x-\cos x=\cos x\ln\big|\operatorname{sen} x\big|.
Confere com o integrando original (no domínio apropriado).

Resposta

\operatorname{sen} x\ln\big|\operatorname{sen} x\big|-\operatorname{sen} x + C

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