Calcule a integral usando a integração por partes.
Passo 1
O enunciado pede que a gente calcule a integral definida
Informações dadas relevantes:
- A variável de integração é
. - O intervalo de integração é
. - A integranda é
. - A função
está bem definida em (pois nesse intervalo).
A tarefa é obter o valor numérico exato da integral.
Passo 2
O enunciado exige uso da integração por partes. Vou relembrar a fórmula e o que cada coisa significa:
A fórmula de integração por partes para integrais indefinidas é
A fórmula de integração por partes para integrais indefinidas é
onde:
-
é uma função que escolhemos para diferenciar (vai gerar ), -
é a parte que escolhemos para integrar (vai gerar ).
Para integrais definidas usamos a versão
Estratégia (por que escolher assim): escolher
é bom porque sua derivada é simples (
), enquanto
é fácil de integrar. Então faço essa escolha.
Passo 3
Defino as partes:
Agora calculo
e
:
- Diferenciando
: . - Integrando
: .
(Explicando:para ; aqui .)
Passo 4
Aplico a fórmula de integração por partes na forma definida:
Expliquei: o primeiro termo é o produto
avaliado nas extremidades; o segundo é
.
Passo 5
Calculo o termo de contorno
:
Como
, isso fica
Passo 6
Agora calculo a integral restante:
Integro
:
portanto
Passo 7
Combino os resultados: a integral original vale
Esse é o valor exato. Parabéns — você usou integração por partes direitinho!