Calcule a integral usando a integração por partes.
\int_{1}^{3} r^{3} \ln r d r

Passo 1

O enunciado pede que a gente calcule a integral definida
\int_{1}^{3} r^{3} \ln r \, dr.
Informações dadas relevantes:
  • A variável de integração é r.
  • O intervalo de integração é [1,3].
  • A integranda é r^{3}\ln r.
  • A função \ln r está bem definida em [1,3] (pois r>0 nesse intervalo).
    A tarefa é obter o valor numérico exato da integral.

Passo 2

O enunciado exige uso da integração por partes. Vou relembrar a fórmula e o que cada coisa significa:
A fórmula de integração por partes para integrais indefinidas é
\int u\,dv = uv - \int v\,du,
onde:
  • u é uma função que escolhemos para diferenciar (vai gerar du),
  • dv é a parte que escolhemos para integrar (vai gerar v).
    Para integrais definidas usamos a versão
\int_{a}^{b} u\,dv = \big[uv\big]_{a}^{b} - \int_{a}^{b} v\,du.
Estratégia (por que escolher assim): escolher u=\ln r é bom porque sua derivada é simples ( 1/r), enquanto dv=r^{3}dr é fácil de integrar. Então faço essa escolha.

Passo 3

Defino as partes:
u=\ln r,\qquad dv = r^{3}\,dr.
Agora calculo du e v:
  • Diferenciando u: du = \dfrac{1}{r}\,dr.
  • Integrando dv: v = \int r^{3}\,dr = \dfrac{r^{4}}{4}.
    (Explicando: \int r^{n}\,dr = \dfrac{r^{n+1}}{n+1} para n\neq-1; aqui n=3.)

Passo 4

Aplico a fórmula de integração por partes na forma definida:
\int_{1}^{3} r^{3}\ln r\,dr = \bigg[\ln r\cdot \frac{r^{4}}{4}\bigg]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} \frac{r^{4}}{4}\cdot\frac{1}{r}\,dr.
Expliquei: o primeiro termo é o produto uv avaliado nas extremidades; o segundo é \int v\,du.

Passo 5

Calculo o termo de contorno \big[\ln r\cdot \dfrac{r^{4}}{4}\big]_{1}^{3}:
\bigg[\ln r\cdot \frac{r^{4}}{4}\bigg]_{1}^{3} = \frac{3^{4}}{4}\ln 3 - \frac{1^{4}}{4}\ln 1.
Como \ln 1 = 0, isso fica
\frac{3^{4}}{4}\ln 3 = \frac{81}{4}\ln 3.

Passo 6

Agora calculo a integral restante:
\int_{1}^{3} \frac{r^{4}}{4}\cdot\frac{1}{r}\,dr = \int_{1}^{3} \frac{r^{3}}{4}\,dr = \frac{1}{4}\int_{1}^{3} r^{3}\,dr.
Integro r^{3}:
\int r^{3}\,dr = \frac{r^{4}}{4},
portanto
\frac{1}{4}\int_{1}^{3} r^{3}\,dr = \frac{1}{4}\bigg[\frac{r^{4}}{4}\bigg]_{1}^{3} = \frac{1}{16}\big(3^{4}-1^{4}\big) = \frac{1}{16}(81-1)=\frac{80}{16}=5.

Passo 7

Combino os resultados: a integral original vale
\frac{81}{4}\ln 3 - 5.
Esse é o valor exato. Parabéns — você usou integração por partes direitinho!

Resposta

\dfrac{81}{4}\ln 3 - 5

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