Calcule a integral das funções racionais pelo método das frações parciais.
integral 1x(x^2+4)^2 d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral 1x(x^2+4)^2,dx usando frações parciais, que é o conteúdo de decompor uma função racional em somas de termos mais simples e depois integrar cada um.

Passo 2

Para montar a decomposição, escrevemos
1x(x^2+4)^2 = Ax + Bx+Cx^2+4 + Dx+E(x^2+4)^2

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados por x(x^2+4)^2 e obtemos o polinômio identicamente igual a 1:
1 = A(x^2+4)^2 + (Bx+C)x(x^2+4) + (Dx+E)x

Passo 4

Expandindo e agrupando coeficientes de potências de x, chegamos ao sistema:
A+B=0,C=0,8A+4B+D=0,4C+E=0,16A=1

Passo 5

Da última equação vem A=tfrac116. Logo
B=-tfrac116, C=0, D=-tfrac14, E=0

Passo 6

Substituindo de volta temos
1x(x^2+4)^2 = 1/16x - 1/16,xx^2+4 - 1/4,x(x^2+4)^2

Passo 7

Agora integramos termo a termo:
integral 1/16x,dx = 116ln|x|
-116integral xx^2+4,dx. Com u=x^2+4, du=2x,dx, vem = -116cdot12ln(x^2+4)= -132ln(x^2+4)
-14integral x(x^2+4)^2,dx. De novo u=x^2+4, du=2x,dx, resulta em
-tfrac14cdottfrac12integral u^-2du = -tfrac18(-u^-1)= tfrac18(x^2+4)

Resposta

integral 1x(x^2+4)^2,dx = 116ln|x| - 132ln(x^2+4) + 18(x^2+4) + C

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