Calcule a integral das funções racionais pelo método das frações parciais. .
Passo 1
O enunciado pede para calcular usando frações parciais, que é o conteúdo de decompor uma função racional em somas de termos mais simples e depois integrar cada um.
Passo 2
Para montar a decomposição, escrevemos
Passo 3
Multiplicamos ambos os lados por e obtemos o polinômio identicamente igual a 1:
Passo 4
Expandindo e agrupando coeficientes de potências de , chegamos ao sistema:
Agora integramos termo a termo:
– integral 1/16x,dx = 116ln|x|
– -116integral xx^2+4,dx. Com u=x^2+4, du=2x,dx, vem = -116cdot12ln(x^2+4)= -132ln(x^2+4)
– -14integral x(x^2+4)^2,dx. De novo u=x^2+4, du=2x,dx, resulta em -tfrac14cdottfrac12integral u^-2du = -tfrac18(-u^-1)= tfrac18(x^2+4)
Resposta
integral 1x(x^2+4)^2,dx = 116ln|x| - 132ln(x^2+4) + 18(x^2+4) + C