Use somas de Riemann para mostrar que
integral0^b e^x d x=e^b-1.

Passo 1

Temos a função f(x)=e^x e queremos calcular integral0^b e^x,dx usando a definição de integral como limite de somas de Riemann. Vamos precisar da noção de partição de um intervalo, soma de Riemann e da fórmula para soma de série geométrica.

Passo 2

Particionamos o intervalo [0,b] em n subintervalos iguais de largura De. Como ponto de amostragem em cada subintervalo escolhemos o extremo direito xi=tfraci bn, para i=1,2,dots,n. A soma de Riemann fica
Sn=sumi=1^n e^xi,De

Passo 3

Reconhecemos que sumi=1^n e^tfraci bn é uma série geométrica de razão r=e^tfracbn. Usando
sumi=1^n r^i=r(r^n-1)r-1, obtemos
Sn=bncdote^tfracbnl(e^b-1r)e^tfracbn-1

Passo 4

Agora calculamos o limite quando ntoinfty. Sabemos que e^tfracbnto1 e que
limntoinftye^tfracbn-1tfracbn=1 Portanto
limntoinftySn=limntoinftybncdote^tfracbn(e^b-1)e^tfracbn-1=e^b-1

Passo 5

Pela definição de integral como limite de somas de Riemann concluímos que integral0^b e^x,dx=e^b-1.

Resposta

e^b - 1

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