Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
Passo 1
O enunciado pede o limite da função f(x,y,z)=x e^{z}+\ln(2x-y) quando (x,y,z)→(2,3,0). O conteúdo envolvido é limite e continuidade de funções de várias variáveis, e vamos precisar verificar o domínio da parte logarítmica e usar a propriedade de continuidade de funções elementares.
Passo 2
Para a parte \ln(2x-y) ser bem definida é preciso 2x-y>0. No ponto dado temos 2·2-3=1>0. Como essa desigualdade é estrita, existe uma vizinhança de (2,3) em que 2x-y continua positiva, logo o logaritmo está definido perto do ponto.
Passo 3
As funções x e^{z} e \ln(2x-y) são contínuas em seus domínios. Como a soma de funções contínuas também é contínua, f(x,y,z) é contínua em (2,3,0).
Passo 4
Pelo teorema do limite de função contínua, o limite é o valor de f no ponto: f(2,3,0)=2 e^{0}+\ln(4-3)=2·1+\ln(1)=2+0=2.
Resposta
2