Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
lim (x, y, z) (2,3,0)[x e^z+ln (2 x-y)]

Passo 1

O enunciado pede o limite da função f(x,y,z)=x e^{z}+\ln(2x-y) quando (x,y,z)→(2,3,0). O conteúdo envolvido é limite e continuidade de funções de várias variáveis, e vamos precisar verificar o domínio da parte logarítmica e usar a propriedade de continuidade de funções elementares.

Passo 2

Para a parte \ln(2x-y) ser bem definida é preciso 2x-y>0. No ponto dado temos 2·2-3=1>0. Como essa desigualdade é estrita, existe uma vizinhança de (2,3) em que 2x-y continua positiva, logo o logaritmo está definido perto do ponto.

Passo 3

As funções x e^{z} e \ln(2x-y) são contínuas em seus domínios. Como a soma de funções contínuas também é contínua, f(x,y,z) é contínua em (2,3,0).

Passo 4

Pelo teorema do limite de função contínua, o limite é o valor de f no ponto: f(2,3,0)=2 e^{0}+\ln(4-3)=2·1+\ln(1)=2+0=2.

Resposta

2

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