Calcule a integral.
Passo 1
O enunciado pede calcular a função
definida por
Informações dadas:
- A integral é definida com limite superior
e limite inferior . - O integrando é
. - Para que
seja real no intervalo de integração é conveniente supor (ou, mais generally, se for o caso).
O objetivo é encontrar uma expressão fechada de.
Passo 2
Motivação para o primeiro passo de cálculo (substituição): a presença de
no argumento do cosseno sugere trocar de variável para eliminar a raiz. Façamos a substituição
Daí
e, diferenciando, obtemos
Quando
temos
; quando
temos
. Essas são as novas limites da integral.
Passo 3
Aplicando a substituição na integral:
Ou seja,
Passo 4
Explicando a técnica que vamos usar para
: a integral é um produto
, então usamos integração por partes. A fórmula de integração por partes é
onde se escolhe
e
convenientemente, calcula-se
e
e aplica-se a fórmula.
Passo 5
Escolhemos
e
. Então
Aplicando a fórmula:
(Explicação:
, por isso o sinal torna-se
.)
Passo 6
Voltando à integral definida, como
(primitiva), temos
Aqui está a integral expressa em termos da primitiva avaliada entre as novas limites.
Passo 7
Podemos verificar rapidamente uma propriedade importante (checagem): pela Regra Fundamental do Cálculo, a derivada em relação a
de
é
o que é consistente com o fato de a função integranda ser
. Essa verificação é útil para checar se a expressão final está correta depois de simplificada.