Calcule a integral.
G(x)=\int_{x}^{1} \cos \sqrt{t} d t

Passo 1

O enunciado pede calcular a função G definida por
G(x)=\int_{x}^{1}\cos\sqrt{t}\,dt.
Informações dadas:
  • A integral é definida com limite superior 1 e limite inferior x.
  • O integrando é \cos\sqrt{t}.
  • Para que \sqrt{t} seja real no intervalo de integração é conveniente supor 0\le x\le 1 (ou, mais generally, x\ge 0 se for o caso).
    O objetivo é encontrar uma expressão fechada de G(x).

Passo 2

Motivação para o primeiro passo de cálculo (substituição): a presença de \sqrt{t} no argumento do cosseno sugere trocar de variável para eliminar a raiz. Façamos a substituição
u=\sqrt{t}.
Daí t=u^{2} e, diferenciando, obtemos
dt=2u\,du.
Quando t=x temos u=\sqrt{x}; quando t=1 temos u=1. Essas são as novas limites da integral.

Passo 3

Aplicando a substituição na integral:
G(x)=\int_{t=x}^{t=1}\cos\sqrt{t}\,dt=\int_{u=\sqrt{x}}^{u=1}\cos u\cdot(2u)\,du.
Ou seja,
G(x)=2\int_{\sqrt{x}}^{1}u\cos u\,du.

Passo 4

Explicando a técnica que vamos usar para \int u\cos u\,du: a integral é um produto u\cdot\cos u, então usamos integração por partes. A fórmula de integração por partes é
\int v\,dw = v w - \int w\,dv,
onde se escolhe v e dw convenientemente, calcula-se dv e w e aplica-se a fórmula.

Passo 5

Escolhemos v=u e dw=\cos u\,du. Então
dv=du,\qquad w=\sin u.
Aplicando a fórmula:
\int u\cos u\,du = u\sin u - \int \sin u\,du = u\sin u + \cos u + C.
(Explicação: \int \sin u\,du=-\cos u, por isso o sinal torna-se +\cos u.)

Passo 6

Voltando à integral definida, como \int u\cos u\,du = u\sin u+\cos u (primitiva), temos
G(x)=2\Big[ u\sin u + \cos u \Big]_{u=\sqrt{x}}^{u=1}.
Aqui está a integral expressa em termos da primitiva avaliada entre as novas limites.

Passo 7

Podemos verificar rapidamente uma propriedade importante (checagem): pela Regra Fundamental do Cálculo, a derivada em relação a x de G(x)=\int_{x}^{1}\cos\sqrt{t}\,dt é
G'(x)=-\cos\sqrt{x},
o que é consistente com o fato de a função integranda ser \cos\sqrt{t}. Essa verificação é útil para checar se a expressão final está correta depois de simplificada.

Resposta

G(x)=2\bigl(\sin 1+\cos 1-\sqrt{x}\,\sin\sqrt{x}-\cos\sqrt{x}\bigr)

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