Calcule a integral.
y=\int_{0}^{\operatorname{tg} x} \sqrt{t+\sqrt{t}} d t

Passo 1

O enunciado nos dá a função definida por
y=\int_{0}^{\tan x} \sqrt{t+\sqrt{t}}\;dt.
O que se pede (texto do enunciado): calcular a integral acima (isto é, obter y em função de x ou, conforme interpretação usual, encontrar a expressão que resulta quando se trata de uma integral com limite superior dependente de x).
Informações relevantes dadas:
  • A variável de integração é t.
  • O limite inferior é 0.
  • O limite superior é u(x)=\tan x.
  • A função integranda é f(t)=\sqrt{t+\sqrt{t}}.
    Observação sobre domínio: para a integral definida como número real é necessário que os valores de t percorridos façam sentido em f(t). Como f(t) envolve \sqrt{t}, torna-se necessário que t\ge 0 no intervalo de integração; portanto, para a integral ser real com os limites dados precisamos que \tan x\ge 0 (ou, em termos de interpretação de integral com limite maior menor que zero, ter cuidado com valores de x que tornem \tan x<0, pois então a integral envolveria pontos com t<0 onde f não é real).

Passo 2

Vamos usar um resultado fundamental que resolve rapidamente integrais com limite superior dependente de x: o Teorema Fundamental do Cálculo combinado com a regra da cadeia. O enunciado deste resultado (numa forma prática) é:
seja
Y(x)=\int_{a}^{u(x)} f(t)\;dt,
onde f é contínua no intervalo considerado e u é diferenciável; então Y é diferenciável e
Y'(x)=f\big(u(x)\big)\cdot u'(x).
Explicando de forma didática e intuitiva: a integral acumulada até u(x) muda de duas maneiras quando x varia — o valor do integrando em t=u(x) multiplica a variação do limite u(x); a regra da cadeia pega exatamente essa taxa de variação do limite. Não é preciso calcular uma primitiva de f para obter Y'(x); basta avaliar f no ponto u(x) e multiplicar pela derivada de u.

Passo 3

Identificamos, comparando com o formato anterior:
f(t)=\sqrt{t+\sqrt{t}},\qquad u(x)=\tan x.
Agora calculamos a derivada do limite superior:
u'(x)=\frac{d}{dx}\big(\tan x\big)=\operatorname{sec}^2 x.
(Lembrete prático: a derivada de \tan x é \operatorname{sec}^2 x, que também pode ser escrita como 1+\tan^2 x, pois vale \operatorname{sec}^2 x=1+\tan^2 x.)

Passo 4

Aplicando a fórmula do Passo 2, obtemos a derivada y'(x):
y'(x)=f\big(u(x)\big)\cdot u'(x)=\sqrt{\tan x+\sqrt{\tan x}}\;\cdot\;\operatorname{sec}^2 x.
Esta expressão é a derivada de y em relação a x. Ela foi obtida sem precisar encontrar uma primitiva explícita de f(t), o que seria mais trabalhoso.

Passo 5

Comentários finais e checagens:
  • A expressão de y'(x) só faz sentido real quando \tan x\ge 0, conforme a observação de domínio do Passo 1; para valores de x com \tan x<0 a integral original, tal como escrita, não representa um número real (a menos que se interprete como integral com limites invertidos e se trate de extensão complexa, mas aqui assumimos valores reais).
  • Exemplo numérico rápido para fixar a ideia: se x=\pi/4 então \tan x=1 e \operatorname{sec}^2 x=2; assim
y'\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=\sqrt{1+\sqrt{1}}\cdot 2= \sqrt{1+1}\cdot 2=2\sqrt{2}.

Resposta

\displaystyle y'(x)=\sqrt{\tan x+\sqrt{\tan x}}\;\operatorname{sec}^2 x

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