Calcule a integral.
Passo 1
O enunciado nos dá a função definida por
O que se pede (texto do enunciado): calcular a integral acima (isto é, obter
em função de
ou, conforme interpretação usual, encontrar a expressão que resulta quando se trata de uma integral com limite superior dependente de
).
Informações relevantes dadas:
Informações relevantes dadas:
- A variável de integração é
. - O limite inferior é
. - O limite superior é
. - A função integranda é
.
Observação sobre domínio: para a integral definida como número real é necessário que os valores depercorridos façam sentido em . Como envolve , torna-se necessário que no intervalo de integração; portanto, para a integral ser real com os limites dados precisamos que (ou, em termos de interpretação de integral com limite maior menor que zero, ter cuidado com valores de que tornem , pois então a integral envolveria pontos com onde não é real).
Passo 2
Vamos usar um resultado fundamental que resolve rapidamente integrais com limite superior dependente de
: o Teorema Fundamental do Cálculo combinado com a regra da cadeia. O enunciado deste resultado (numa forma prática) é:
seja
seja
onde
é contínua no intervalo considerado e
é diferenciável; então
é diferenciável e
Explicando de forma didática e intuitiva: a integral acumulada até
muda de duas maneiras quando
varia — o valor do integrando em
multiplica a variação do limite
; a regra da cadeia pega exatamente essa taxa de variação do limite. Não é preciso calcular uma primitiva de
para obter
; basta avaliar
no ponto
e multiplicar pela derivada de
.
Passo 3
Identificamos, comparando com o formato anterior:
Agora calculamos a derivada do limite superior:
(Lembrete prático: a derivada de
é
, que também pode ser escrita como
, pois vale
.)
Passo 4
Aplicando a fórmula do Passo 2, obtemos a derivada
:
Esta expressão é a derivada de
em relação a
. Ela foi obtida sem precisar encontrar uma primitiva explícita de
, o que seria mais trabalhoso.
Passo 5
Comentários finais e checagens:
- A expressão de
só faz sentido real quando , conforme a observação de domínio do Passo 1; para valores de com a integral original, tal como escrita, não representa um número real (a menos que se interprete como integral com limites invertidos e se trate de extensão complexa, mas aqui assumimos valores reais). - Exemplo numérico rápido para fixar a ideia: se
então e ; assim