Se u e v são funções de \chi e y, de classe C^{2}, e satisfazem as equações de Cauchy-Riemann
\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}, \frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}
mostre que u e v são harmônicas.

Passo 1

O enunciado dá que u=u(x,y) e v=v(x,y) são funções de classe C^{2} (ou seja, têm derivadas parciais de segunda ordem contínuas) e satisfazem as equações de Cauchy–Riemann:
\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}, \qquad \frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}.
O que se pede: mostrar que u e v são harmônicas, isto é, provar que
u_{xx}+u_{yy}=0 \qquad\text{e}\qquad v_{xx}+v_{yy}=0,
onde u_{xx}=\dfrac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}, u_{yy}=\dfrac{\partial^{2}u}{\partial y^{2}} e analogamente para v.

Passo 2

Explicando o que significa “harmônica” e por que a classe C^{2} importa.
  • Dizemos que uma função w(x,y) é harmônica em uma região se sua laplaciana for zero:
\Delta w=w_{xx}+w_{yy}=0.
  • A classe C^{2} garante que as derivadas parciais de segunda ordem existem e são contínuas. Uma consequência importante é o teorema de igualdade das derivadas mistas (teorema de Clairaut): para C^{2} vale
w_{xy}=w_{yx}.
Vamos usar isso para anular diferenças do tipo v_{yx}-v_{xy} ou u_{xy}-u_{yx}.

Passo 3

Provar que u é harmônica.
Começo diferenciando convenientemente as equações de Cauchy–Riemann.
Da primeira equação
\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}
derivado em relação a x
u_{xx}=v_{yx}.
Da segunda equação
\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}
derivado em relação a y
u_{yy}=-v_{xy}.
Agora somo as duas expressões:
u_{xx}+u_{yy}=v_{yx}-v_{xy}.

Passo 4

Usar a igualdade das derivadas mistas.
Como v é C^{2}, vale v_{yx}=v_{xy}. Portanto o lado direito é zero:
v_{yx}-v_{xy}=0.
Logo
u_{xx}+u_{yy}=0,
ou seja, u é harmônica.

Passo 5

Provar que v é harmônica (procedimento análogo).
Reescrevendo as equações de Cauchy–Riemann de forma conveniente:
v_x=-u_y,\qquad v_y=u_x.
Derivando a primeira em relação a x:
v_{xx}=-u_{yx}.
Derivando a segunda em relação a y:
v_{yy}=u_{xy}.
Somando:
v_{xx}+v_{yy}=-u_{yx}+u_{xy}.
Pela classe C^{2} de u tem-se u_{xy}=u_{yx}, portanto o lado direito é zero:
v_{xx}+v_{yy}=0.
Assim v também é harmônica.

Passo 6

Resumo intuitivo e pequenos exemplos para fixar a ideia.
  • Intuitivamente: as equações de Cauchy–Riemann ligam as derivadas de u e v de modo que, ao tomar derivadas de novo e somar, aparece a diferença de derivadas mistas de uma mesma função; como essas derivadas mistas se cancelam (graças à continuidade), a laplaciana zera.
  • Exemplo simples: para f(z)=z tem-se u(x,y)=x, v(x,y)=y. Então u_{xx}=0, u_{yy}=0 e v_{xx}=0, v_{yy}=0, logo ambos harmônicos.
  • Outro exemplo: para f(z)=z^{2} tem-se u=x^{2}-y^{2}, v=2xy. Calculando,
u_{xx}=2,\quad u_{yy}=-2\quad\Rightarrow\quad u_{xx}+u_{yy}=0,
v_{xx}=0,\quad v_{yy}=0\quad\Rightarrow\quad v_{xx}+v_{yy}=0.
Ambos harmônicos, como previsto.

Resposta

\displaystyle u_{xx}+u_{yy}=0
\displaystyle v_{xx}+v_{yy}=0

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