Se u e
são funções de
e
, de classe
, e satisfazem as equações de Cauchy-Riemann
mostre que
e
são harmônicas.
Passo 1
O enunciado dá que
e
são funções de classe
(ou seja, têm derivadas parciais de segunda ordem contínuas) e satisfazem as equações de Cauchy–Riemann:
O que se pede: mostrar que
e
são harmônicas, isto é, provar que
onde
,
e analogamente para
.
Passo 2
Explicando o que significa “harmônica” e por que a classe
importa.
- Dizemos que uma função
é harmônica em uma região se sua laplaciana for zero:
- A classe
garante que as derivadas parciais de segunda ordem existem e são contínuas. Uma consequência importante é o teorema de igualdade das derivadas mistas (teorema de Clairaut): para vale
Vamos usar isso para anular diferenças do tipo
ou
.
Passo 3
Provar que
é harmônica.
Começo diferenciando convenientemente as equações de Cauchy–Riemann.
Da primeira equação
derivado em relação a
dá
Da segunda equação
derivado em relação a
dá
Agora somo as duas expressões:
Passo 4
Usar a igualdade das derivadas mistas.
Como
é
, vale
. Portanto o lado direito é zero:
Logo
ou seja,
é harmônica.
Passo 5
Provar que
é harmônica (procedimento análogo).
Reescrevendo as equações de Cauchy–Riemann de forma conveniente:
Derivando a primeira em relação a
:
Derivando a segunda em relação a
:
Somando:
Pela classe
de
tem-se
, portanto o lado direito é zero:
Assim
também é harmônica.
Passo 6
Resumo intuitivo e pequenos exemplos para fixar a ideia.
- Intuitivamente: as equações de Cauchy–Riemann ligam as derivadas de
e de modo que, ao tomar derivadas de novo e somar, aparece a diferença de derivadas mistas de uma mesma função; como essas derivadas mistas se cancelam (graças à continuidade), a laplaciana zera. - Exemplo simples: para
tem-se , . Então , e , , logo ambos harmônicos. - Outro exemplo: para
tem-se , . Calculando,
Ambos harmônicos, como previsto.