Calcule integral 1-g^2 xsec ^2 x d x
Apresente cada etapa da resolução.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
integral 1 - g^2 xsec^2 x ,dx
Isso envolve técnicas de integração, em especial uso de identidades trigonométricas e integração por partes.

Passo 2

Para simplificar a integral, usemos que sec^2 x = 1/cos^2 x. Assim
1 - g^2 xsec^2 x = (1 - g^2 x)cos^2 x
Então podemos reescrever
integral 1 - g^2 xsec^2 x ,dx = integral (1 - g^2 x)cos^2 x ,dx

Passo 3

Agora separemos a integral em duas partes:
integral (1 - g^2 x)cos^2 x ,dx = integral cos^2 x ,dx ;- ; g^2 integral xcos^2 x ,dx
Isso facilita porque cada integral pode ser resolvida com uma técnica distinta.

Passo 4

Para calcular
integral cos^2 x ,dx
usemos a identidade
cos^2 x = 1 + cos 2x2
Logo
integral cos^2 x ,dx = integral 1 + cos 2x2 ,dx = x2 + sin 2x4 + C1

Passo 5

Agora vamos achar
integral xcos^2 x ,dx
Usamos integração por partes, escolhendo
u = x, dv = cos^2 x ,dx
Já conhecemos
v = integral cos^2 x ,dx = x2 + sin 2x4
Então a fórmula integral u,dv = u v - integral v,du
integral xcos^2 x ,dx = xl(x2 + sin 2x4r) - integral l(x2 + sin 2x4r) ,dx

Passo 6

Continuando a parte anterior:
integral xcos^2 x ,dx = x^22 + xsin 2x4 - l(x^24 + sin 2x8r) + C2 = x^24 + xsin 2x4 + cos 2x8 + C2
(obs.: usei integral sin 2x,dx = -cos 2x2).

Passo 7

Agora reunimos os resultados:
integral cos^2 x ,dx = x2 + sin 2x4
integral xcos^2 x ,dx = x^24 + xsin 2x4 + cos 2x8
e lembrando do fator -g^2 na segunda parte, concluímos:

Passo 8

Multiplicando por -g^2 e somando:
integral (1 - g^2 x)cos^2 x ,dx = l(x2 + sin 2x4r) - g^2l(x^24 + xsin 2x4 + cos 2x8r) + C

Passo 9

Pronto! Esse é o resultado geral da integral, basta deixar constante de integração.

Passo 10

Podemos reescrever de forma expandida para ficar mais legível:

Resposta

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