Mostre que se (pn)n in N sim(pn^prime)n in N e (qn)n in N sim(qn^prime)n in N, então
(pn)n in N+(qn)n in N sim(pn^prime)n in N+(qn^prime)n in N

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é mostrar que se duas sequências, (pn) e (pn^prime), são equivalentes assintoticamente, e também duas outras sequências, (qn) e (qn^prime), são equivalentes, então a soma dessas sequências também será equivalente. A matéria aqui é sobre equivalência assintótica de sequências, que basicamente fala que duas sequências são equivalentes se, quando a gente divide uma pela outra, o limite dá 1 quando n cresce para infinito. Vamos usar essa ideia para resolver o exercício.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa (pn) sim (pn^prime). Isso quer dizer que:
limn to infty pnpn^prime = 1
O mesmo vale para (qn) sim (qn^prime):
limn to infty qnqn^prime = 1
Então, a ideia é usar essas duas igualdades para mostrar que:

Passo 3

Vamos começar a trabalhar com a fração . Para facilitar, podemos dividir o numerador e o denominador por pn + qnpn^prime + qn^prime:

Passo 4

Sabemos que pnpn^prime tende a 1, então o que acontece com qnpn^prime? Para isso, usamos a equivalência (qn) sim (qn^prime), que nos diz que qnqn^prime tende a 1. Portanto, podemos escrever qnpn^prime como:
qnpn^prime = qnqn^prime cdot qn^primepn^prime
Como qnqn^prime to 1 e qn^primepn^prime é uma constante (vamos chamar de k), então qnpn^prime to k.

Passo 5

Agora, voltando à nossa fração inicial:
pnpn^prime + qnpn^prime1 + qn^primepn^prime approx 1 + k1 + k = 1
Então, o limite dessa fração é 1, o que significa que:

Resposta

Portanto, mostramos que (pn) + (qn) sim (pn^prime) + (qn^prime).

Exercícios relacionados