Mostre que se
e
, então
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é mostrar que se duas sequências,
e
, são equivalentes assintoticamente, e também duas outras sequências,
e
, são equivalentes, então a soma dessas sequências também será equivalente. A matéria aqui é sobre equivalência assintótica de sequências, que basicamente fala que duas sequências são equivalentes se, quando a gente divide uma pela outra, o limite dá 1 quando
cresce para infinito. Vamos usar essa ideia para resolver o exercício.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa
. Isso quer dizer que:
O mesmo vale para
:
Então, a ideia é usar essas duas igualdades para mostrar que:
Passo 3
Vamos começar a trabalhar com a fração . Para facilitar, podemos dividir o numerador e o denominador por
:
Passo 4
Sabemos que
tende a 1, então o que acontece com
? Para isso, usamos a equivalência
, que nos diz que
tende a 1. Portanto, podemos escrever
como:
Como
e
é uma constante (vamos chamar de
), então
.
Passo 5
Agora, voltando à nossa fração inicial:
Então, o limite dessa fração é 1, o que significa que:
Resposta
Portanto, mostramos que
.