Seja f(x, y)=2 x e^y-3 y e^x+x-y. Determine as direções em que a derivada direcional de f no ponto ( 0,0 ) é igual zero.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as direções unitárias u=(a,b) em que a derivada direcional de f(x,y)=2xe^y-3ye^x+x-y no ponto (0,0) é zero. O conteúdo envolvido é gradiente e derivada direcional, e vamos precisar calcular nabla f(0,0) e impor nabla f(0,0)cdot u=0 junto com a condição |u|=1.

Passo 2

Primeiro calculamos as derivadas parciais de f. Temos
partial fpartial x=2e^y-3ye^x+1,
partial fpartial y=2xe^y-3e^x-1
Em seguida avaliamos em (0,0):
partial fpartial x(0,0)=2cdot1-3cdot0+1=3,
partial fpartial y(0,0)=2cdot0-3cdot1-1=-4
Logo nabla f(0,0)=(3,-4).

Passo 3

Para que a derivada direcional seja zero, precisamos de
nabla f(0,0)cdot(a,b)=3a-4b=0
Isso dá a relação
3a=4b

Passo 4

Como queremos direções unitárias, impomos ainda
a^2+b^2=1
Substituindo a=tfrac43b em a^2+b^2=1 vem
l(43br)^2+b^2=1
169b^2+b^2=1
259b^2=1Rightarrow b=pm35,
e então
a=43b=pm45

Passo 5

Concluímos que as direções unitárias em que a derivada direcional é nula são
l(45,35r)
e
l(-45,-35r)

Resposta

As direções são os vetores unitários (4/5,,3/5) e (-4/5,,-3/5), que satisfazem 3a-4b=0 e a^2+b^2=1.

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