Escreva a fração decimal como:
  1. uma série infinita;
  2. encontre a soma da série e escreva a soma como o quociente de dois inteiros:
    0,0 2134

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para transformar a fração decimal 0,02134 em duas coisas: primeiro, uma série infinita, e segundo, encontrar a soma dessa série e escrevê-la como o quociente de dois inteiros. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos sobre séries geométricas e progressões.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa 0,02134. O número tem um zero depois da vírgula e, em seguida, o bloco “2134” se repete infinitamente. Então, podemos escrever isso como uma soma infinita:
0,02134 = 0.02134 + 0.00002134 + 0.00000002134 + dots

Passo 3

Agora, vamos identificar essa sequência como uma série geométrica. Uma série geométrica é aquela em que cada termo é um múltiplo constante do termo anterior. Nesse caso, cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por 10^-4 (porque “2134” tem quatro casas decimais). Então, a série pode ser representada assim:
0,02134 = 2134 times 10^-4 + 2134 times 10^-8 + 2134 times 10^-12 + dots

Passo 4

Para simplificar, vamos colocar o 2134 em evidência:
0,02134 = 2134 times (10^-4 + 10^-8 + 10^-12 + dots)
Essa parte entre parênteses é uma série geométrica com o primeiro termo a1 = 10^-4 e a razão r = 10^-4.

Passo 5

A fórmula para a soma S de uma série geométrica infinita é:
S = a11 - r
onde a1 é o primeiro termo e r é a razão.

Passo 6

Aplicando a fórmula:
S = 10^-41 - 10^-4 = 110000 div 999910000 = 19999
Então, nossa série fica:
0,02134 = 2134 times 19999 = 21349999

Resposta

A soma da série é dfrac21349999.

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