Calcule a integral.
y)
y)
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral definida
Informações dadas:
- É uma integral definida com limites inferiores
e superiores . - O integrando é
, que mistura um polinômio em com uma raiz quadrada .
O objetivo é obter um número real que seja o valor dessa integral.
Passo 2
Estratégia (motivação didática): quando aparece
junto com potências de
, uma substituição do tipo
costuma simplificar porque a derivada de
é proporcional a
, permitindo eliminar a raiz e reduzir para potências simples. Vou usar essa substituição porque é direta e envolve apenas álgebra básica — boa para fazer rápido na prova.
Lembrete da regra de substituição: se fizer
com
diferenciável, então
e a integral em
pode ser reescrita em
. Aqui escolhemos
.
Passo 3
Faço a substituição:
Calculo
:
Também expresso
em função de
:
E troco os limites da integral: quando
,
; quando
,
. Portanto os limites em
vão de
até
.
Passo 4
Reescrevo o integrando usando as relações acima. Observe que
. Substituindo:
A raiz fica
. Logo a integral transforma-se em
Passo 5
Simplifico o integrando e trato o sinal trocando os limites para ter a ordem crescente (isso elimina o sinal negativo). Primeiro escrevo o integrando:
Assim
Passo 6
Agora aplico a regra de potência para integrais: para
,
Uso isso termo a termo:
Logo
Passo 7
Avalio as potências em
e
:
Agora multiplico por
:
Fazendo as contas diretas:
e multiplicando por
obtém-se