Calcule a integral.
y)
\int_{0}^{1} x^{3} \sqrt{1-x^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral definida
\int_{0}^{1} x^{3}\sqrt{1-x^{2}}\,dx.
Informações dadas:
  • É uma integral definida com limites inferiores 0 e superiores 1.
  • O integrando é x^{3}\sqrt{1-x^{2}}, que mistura um polinômio em x com uma raiz quadrada \sqrt{1-x^{2}}.
    O objetivo é obter um número real que seja o valor dessa integral.

Passo 2

Estratégia (motivação didática): quando aparece \sqrt{1-x^{2}} junto com potências de x, uma substituição do tipo u=1-x^{2} costuma simplificar porque a derivada de 1-x^{2} é proporcional a x, permitindo eliminar a raiz e reduzir para potências simples. Vou usar essa substituição porque é direta e envolve apenas álgebra básica — boa para fazer rápido na prova.
Lembrete da regra de substituição: se fizer u=g(x) com g diferenciável, então du=g'(x)\,dx e a integral em x pode ser reescrita em u. Aqui escolhemos u = 1-x^{2}.

Passo 3

Faço a substituição:
u = 1 - x^{2}.
Calculo du:
du = -2x\,dx \quad\Rightarrow\quad x\,dx = -\frac{1}{2}\,du.
Também expresso x^{2} em função de u:
x^{2} = 1 - u.
E troco os limites da integral: quando x=0, u=1-0^{2}=1; quando x=1, u=1-1^{2}=0. Portanto os limites em u vão de u=1 até u=0.

Passo 4

Reescrevo o integrando usando as relações acima. Observe que x^{3}\,dx = x^{2}\cdot x\,dx. Substituindo:
x^{3}\,dx = x^{2}\cdot x\,dx = (1-u)\left(-\frac{1}{2}\,du\right) = -\frac{1}{2}(1-u)\,du.
A raiz fica \sqrt{1-x^{2}}=\sqrt{u}=u^{1/2}. Logo a integral transforma-se em
\int_{0}^{1} x^{3}\sqrt{1-x^{2}}\,dx = \int_{u=1}^{u=0} \left(-\frac{1}{2}(1-u)\right) u^{1/2}\,du.

Passo 5

Simplifico o integrando e trato o sinal trocando os limites para ter a ordem crescente (isso elimina o sinal negativo). Primeiro escrevo o integrando:
-\frac{1}{2}(1-u)u^{1/2} = -\frac{1}{2}\big(u^{1/2} - u^{3/2}\big).
Assim
\int_{1}^{0} -\frac{1}{2}\big(u^{1/2} - u^{3/2}\big)\,du = \frac{1}{2}\int_{0}^{1} \big(u^{1/2} - u^{3/2}\big)\,du.

Passo 6

Agora aplico a regra de potência para integrais: para n\neq -1,
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1}.
Uso isso termo a termo:
\int u^{1/2}\,du = \frac{u^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3}u^{3/2}, \qquad \int u^{3/2}\,du = \frac{u^{5/2}}{5/2} = \frac{2}{5}u^{5/2}.
Logo
\frac{1}{2}\int_{0}^{1}\big(u^{1/2}-u^{3/2}\big)\,du = \frac{1}{2}\left[\frac{2}{3}u^{3/2}-\frac{2}{5}u^{5/2}\right]_{0}^{1}.

Passo 7

Avalio as potências em u=1 e u=0:
\left[\frac{2}{3}u^{3/2}-\frac{2}{5}u^{5/2}\right]_{0}^{1} = \left(\frac{2}{3}\cdot 1^{3/2}-\frac{2}{5}\cdot 1^{5/2}\right) - 0 = \frac{2}{3}-\frac{2}{5}.
Agora multiplico por \tfrac{1}{2}:
\frac{1}{2}\left(\frac{2}{3}-\frac{2}{5}\right) = \frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}\left(1-\frac{3}{5}\right)\quad\text{(ou calcule direto)}.
Fazendo as contas diretas:
\frac{2}{3}-\frac{2}{5}=\frac{10-6}{15}=\frac{4}{15},
e multiplicando por \tfrac{1}{2} obtém-se
\frac{1}{2}\cdot\frac{4}{15}=\frac{2}{15}.

Resposta

\dfrac{2}{15}

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