Calcule a integral I=\iiint_{E} x d V, onde E é a região delimitada pelo cilindro x^{2}+y^{2}=9, pelo plano x+y+z=6 e pelo plano z=0. Esboce o sólido E.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
I=\iiint_{E} x\,dV
onde E é a região limitada pelo cilindro x^{2}+y^{2}=9, pelo plano x+y+z=6 e pelo plano z=0. Também pede que eu esboce o sólido E.
Informações dadas e observações imediatas:
\begin{aligned} &\text{Cilindro: } x^{2}+y^{2}=9 \quad\Rightarrow\quad \text{disco de raio } 3 \text{ na projeção no plano } z=0.\\[4pt] &\text{Plano superior: } x+y+z=6 \quad\Rightarrow\quad z=6-x-y.\\[4pt] &\text{Plano inferior: } z=0.\\[4pt] &\text{Logo, para cada ponto }(x,y)\text{ no disco }D=\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le 9\},\; z \text{ varia de }0\text{ até }6-x-y. \end{aligned}çãé]

Passo 2

Transformar a integral tripla em uma dupla sobre a projeção no plano z=0. Explicando a ideia: para um sólido cujo teto é dado por z = g(x,y) e chão por z=h(x,y), temos
\iiint_{E} f(x,y,z)\,dV = \iint_{D}\Bigl(\int_{h(x,y)}^{g(x,y)} f(x,y,z)\,dz\Bigr)\,dA,
onde D é a projeção de E no plano z=0. Aqui h(x,y)=0 e g(x,y)=6-x-y, e f(x,y,z)=x (não depende de z). Portanto
I=\iint_{D} \left(\int_{0}^{6-x-y} x\,dz\right) dA.
Como x não depende de z, a integral em z é simples:
\int_{0}^{6-x-y} x\,dz = x(6-x-y).
Assim
I=\iint_{D} x(6-x-y)\,dA,
onde D é o disco \{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le 9\}.

Passo 3

Explicar a troca para coordenadas polares (prática comum para discos). Coordenadas polares definem
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,
onde r\ge 0 é a distância à origem e \theta é o ângulo medido a partir do eixo x. O elemento de área em polares vale
dA = r\,dr\,d\theta.
Aqui o disco de raio 3 corresponde a
0\le r\le 3,\qquad 0\le \theta\le 2\pi.
Substituindo x e y em x(6-x-y) e multiplicando por dA obtemos a integral em polares.

Passo 4

Fazer as substituições e escrever a integral em polares. Temos
x(6-x-y) = r\cos\theta\bigl(6 - r\cos\theta - r\sin\theta\bigr).
Multiplicando por dA=r\,dr\,d\theta,
x(6-x-y)\,dA = r\cos\theta\bigl(6 - r\cos\theta - r\sin\theta\bigr)\cdot r\,dr\,d\theta.
Isto simplifica para
\bigl(6r^{2}\cos\theta - r^{3}\cos^{2}\theta - r^{3}\cos\theta\sin\theta\bigr)\,dr\,d\theta.
Portanto
I = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{3} \bigl(6r^{2}\cos\theta - r^{3}\cos^{2}\theta - r^{3}\cos\theta\sin\theta\bigr)\,dr\,d\theta.

Passo 5

Usar simetrias e propriedades trigonométricas para simplificar a integração em \theta. Observações importantes:
  • A função \cos\theta tem média zero em [0,2\pi]:
\int_{0}^{2\pi} \cos\theta\,d\theta = 0.
  • O produto \cos\theta\sin\theta também tem média zero em [0,2\pi]:
\int_{0}^{2\pi} \cos\theta\sin\theta\,d\theta = 0.
  • \cos^{2}\theta tem média 1/2 em [0,2\pi], e portanto
\int_{0}^{2\pi} \cos^{2}\theta\,d\theta = \pi.
Aplicando essas observações à integral separada em três termos:
I = 6\underbrace{\int_{0}^{2\pi}\cos\theta\,d\theta}_{=0}\cdot\int_{0}^{3} r^{2}\,dr \;-\;\underbrace{\int_{0}^{2\pi}\cos^{2}\theta\,d\theta}_{=\pi}\cdot\int_{0}^{3} r^{3}\,dr \;-\;\underbrace{\int_{0}^{2\pi}\cos\theta\sin\theta\,d\theta}_{=0}\cdot\int_{0}^{3} r^{3}\,dr.
Assim os termos primeiro e terceiro são nulos por simetria, sobrando apenas o segundo termo (com sinal negativo):
I = -\left(\int_{0}^{2\pi}\cos^{2}\theta\,d\theta\right)\left(\int_{0}^{3} r^{3}\,dr\right) = -\pi\cdot\int_{0}^{3} r^{3}\,dr.

Passo 6

Calcular a integral em r:
\int_{0}^{3} r^{3}\,dr = \left[\frac{r^{4}}{4}\right]_{0}^{3} = \frac{3^{4}}{4} = \frac{81}{4}.
Portanto
I = -\pi\cdot \frac{81}{4} = -\frac{81\pi}{4}.

Passo 7

Interpretação física e verificação rápida por outra decomposição: expandindo x(6-x-y)=6x-x^{2}-xy, notamos que \iint_{D}6x\,dA=6\cdot 0 por simetria ( x tem média zero no disco), \iint_{D}xy\,dA=0 por simetria, e \iint_{D} x^{2}\,dA=\pi\cdot(81/4). Logo I=0-\pi(81/4)-0, que confirma o resultado -\dfrac{81\pi}{4}.

Passo 8

Esboço e descrição do sólido E (descrição para desenhar):
  • A projeção no plano z=0 é o disco de raio 3 centrado na origem: x^{2}+y^{2}\le 9.
  • Em cada ponto (x,y) desse disco, z varia de 0 até z=6-x-y. Assim o teto é um plano inclinado que intercepta os eixos em x=6 (quando y=z=0), y=6 e z=6, mas, sobre o disco de raio 3, o plano está acima de z=0 (pois x+y\le 3\sqrt{2}<6).
  • Visualmente: um cilindro vertical (base circular de raio 3) “cortado” por um plano oblíquo que forma o teto. Ou seja, é o volume dentro do cilindro entre o plano horizontal z=0 e o plano inclinado z=6-x-y. Para esboçar, desenhe o disco na base, suba linhas verticais e depois desenhe uma face superior inclinada que toca essas linhas conforme z=6-x-y.

Resposta

-\dfrac{81\pi}{4}
O sólido E é o conjunto \{(x,y,z)\mid x^{2}+y^{2}\le 9,\\\ 0\le z\le 6-x-y\}: disco de raio 3 na base e teto dado pelo plano inclinado z=6-x-y.

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