Calcule a integral I=\iiint_{E} x d V, onde E é a região delimitada pelo cilindro x^{2}+y^{2}=9, pelo plano x+y+z=6 e pelo plano z=0. Esboce o sólido E.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
I=\iiint_{E} x\,dV
onde E é a região limitada pelo cilindro x^{2}+y^{2}=9, pelo plano x+y+z=6 e pelo plano z=0. Também pede que eu esboce o sólido E.
Informações dadas e observações imediatas:
\begin{aligned} &\text{Cilindro: } x^{2}+y^{2}=9 \quad\Rightarrow\quad \text{disco de raio } 3 \text{ na projeção no plano } z=0.\\[4pt] &\text{Plano superior: } x+y+z=6 \quad\Rightarrow\quad z=6-x-y.\\[4pt] &\text{Plano inferior: } z=0.\\[4pt] &\text{Logo, para cada ponto }(x,y)\text{ no disco }D=\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le 9\},\; z \text{ varia de }0\text{ até }6-x-y. \end{aligned}]
Passo 2
Transformar a integral tripla em uma dupla sobre a projeção no plano z=0. Explicando a ideia: para um sólido cujo teto é dado por z = g(x,y) e chão por z=h(x,y), temos
Interpretação física e verificação rápida por outra decomposição: expandindo x(6-x-y)=6x-x^{2}-xy, notamos que \iint_{D}6x\,dA=6\cdot 0 por simetria (x tem média zero no disco), \iint_{D}xy\,dA=0 por simetria, e \iint_{D} x^{2}\,dA=\pi\cdot(81/4). Logo I=0-\pi(81/4)-0, que confirma o resultado -\dfrac{81\pi}{4}.
Passo 8
Esboço e descrição do sólido E (descrição para desenhar):
A projeção no plano z=0 é o disco de raio 3 centrado na origem: x^{2}+y^{2}\le 9.
Em cada ponto (x,y) desse disco, z varia de 0 até z=6-x-y. Assim o teto é um plano inclinado que intercepta os eixos em x=6 (quando y=z=0), y=6 e z=6, mas, sobre o disco de raio 3, o plano está acima de z=0 (pois x+y\le 3\sqrt{2}<6).
Visualmente: um cilindro vertical (base circular de raio 3) “cortado” por um plano oblíquo que forma o teto. Ou seja, é o volume dentro do cilindro entre o plano horizontal z=0 e o plano inclinado z=6-x-y. Para esboçar, desenhe o disco na base, suba linhas verticais e depois desenhe uma face superior inclinada que toca essas linhas conforme z=6-x-y.
Resposta
-\dfrac{81\pi}{4}
O sólido E é o conjunto \{(x,y,z)\mid x^{2}+y^{2}\le 9,\\\ 0\le z\le 6-x-y\}: disco de raio 3 na base e teto dado pelo plano inclinado z=6-x-y.