Seja f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) dada por: \[f(x)= \begin{cases}x^{2} \sin \left(\frac{1}{x^{2}}\right), & \text { se } x \neq 0, \\\\ 0, & \text { se } x=0 .\end{cases}
Mostre que f\] é derivável em \(\mathbb{R} mas f^{\prime} não é limitada em vizinhança alguma da origem.

Passo 1

Enunciado fornecido: a função f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) está definida por \[f(x)= \begin{cases}x^{2} \sin \left(\frac{1}{x^{2}}\right), & \text{se } x \neq 0, \\[4pt] 0, & \text{se } x=0 .\end{cases}
O que nos pedem: (1) mostrar que f\] é derivável em \(\mathbb{R} (isto é, em todo ponto, inclusive em x=0); (2) mostrar que a derivada f' não é limitada em nenhuma vizinhança da origem (ou seja, em qualquer intervalo que contenha 0 haverá pontos onde |f'| é arbitrariamente grande).
Informações relevantes do enunciado:
  • A fórmula explícita de f(x) para x\neq0 é x^{2}\sin\!\big(\tfrac{1}{x^{2}}\big).
  • O valor em 0 foi dado como f(0)=0.
  • Devemos tratar separadamente pontos x\neq0 e o ponto x=0.]

Passo 2

Derivabilidade em pontos x\neq0: ideia e ferramentas.
Para calcular f'(x) quando x\neq0 usamos regras básicas de diferenciação: produto e regra da cadeia. Vou lembrar rapidamente essas regras de forma simples e intuitiva.
  • Regra do produto: se g(x)=u(x)\cdot v(x), então
g'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Isto significa que derivamos uma fator por vez, multiplicando pelo outro, e somamos.
  • Regra da cadeia: se v(x)=\sin(h(x)), então
v'(x)=\cos(h(x))\cdot h'(x).
Ou seja, derivamos a função externa ( \sin vira \cos) e multiplicamos pela derivada da função interna h(x).
Aplicando essas regras a f(x)=x^{2}\sin\!\big(\tfrac{1}{x^{2}}\big) para x\neq0: tome u(x)=x^{2} e v(x)=\sin\!\big(\tfrac{1}{x^{2}}\big).

Passo 3

Cálculo explícito de f'(x) para x\neq0.
Primeiro u'(x)=2x. Para v'(x) usamos a regra da cadeia com h(x)=\tfrac{1}{x^{2}}. Temos h'(x)=-2x^{-3}=-\tfrac{2}{x^{3}}. Logo
v'(x)=\cos\!\left(\tfrac{1}{x^{2}}\right)\cdot\left(-\tfrac{2}{x^{3}}\right).
Agora aplique a regra do produto:
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x)=2x\sin\!\left(\tfrac{1}{x^{2}}\right) + x^{2}\cdot\cos\!\left(\tfrac{1}{x^{2}}\right)\cdot\left(-\tfrac{2}{x^{3}}\right).
Simplificando o segundo termo:
x^{2}\cdot\left(-\tfrac{2}{x^{3}}\right)=-\tfrac{2}{x},
logo obtemos a fórmula final, válida para x\neq0:
\boxed{\,f'(x)=2x\sin\!\left(\tfrac{1}{x^{2}}\right)-\tfrac{2}{x}\cos\!\left(\tfrac{1}{x^{2}}\right).\,}

Passo 4

Derivabilidade em x=0: cálculo pelo quociente de diferença (definição).
Para mostrar que f é derivável em 0 devemos mostrar que o limite
\lim_{h\to0}\frac{f(h)-f(0)}{h}
existe. Como f(0)=0, isso é
\lim_{h\to0}\frac{f(h)}{h}=\lim_{h\to0}\frac{h^{2}\sin\!\left(\tfrac{1}{h^{2}}\right)}{h} =\lim_{h\to0} h\sin\!\left(\tfrac{1}{h^{2}}\right).
Agora uso uma estimativa simples: para todo número real t vale |\sin t|\le 1. Assim
\left|h\sin\!\left(\tfrac{1}{h^{2}}\right)\right|\le |h|.
Como \lim_{h\to0}|h|=0, pelo teorema do confronto (squeeze theorem) segue que
\lim_{h\to0} h\sin\!\left(\tfrac{1}{h^{2}}\right)=0.
Portanto o quociente de diferença tende a 0, e concluímos que f é derivável em 0 com
\boxed{\,f'(0)=0.\,} (Isto fecha a derivabilidade em todo \(\mathbb{R}\): já tínhamos \(f'\) para \(x\neq0\) e agora para \(x=0\).)

Passo 5

Interpretação do comportamento de f'(x) perto da origem.
Relembre a expressão para x\neq0:
f'(x)=2x\sin\!\left(\tfrac{1}{x^{2}}\right)-\tfrac{2}{x}\cos\!\left(\tfrac{1}{x^{2}}\right).
Quando x\to0, o termo 2x\sin\!\left(\tfrac{1}{x^{2}}\right) tende a 0 (mesma ideia do passo anterior: fator x multiplica algo limitado). O segundo termo -\tfrac{2}{x}\cos\!\left(\tfrac{1}{x^{2}}\right) tem comportamento \sim \tfrac{C}{x} onde C oscila entre -2 e 2. Isso sugere que a magnitude de f'(x) pode ficar arbitrariamente grande quando x se aproxima de 0, mas precisamos provar rigorosamente que em qualquer vizinhança de 0 f' atinge valores de módulo arbitrariamente grande (isto é, é não limitada).

Passo 6

Construção de uma sequência que força f' a explodir.
Queremos pontos próximos de 0 onde |f'| cresce sem limite. Observe que \cos\theta=1 quando \theta=2\pi k com k\in\mathbb{Z}. Se escolhermos x tal que \tfrac{1}{x^{2}}=2\pi k, então \cos\!\left(\tfrac{1}{x^{2}}\right)=1 e \sin\!\left(\tfrac{1}{x^{2}}\right)=0. Assim defina a sequência (x_{k}) por
x_{k}=\frac{1}{\sqrt{2\pi k}},\qquad k=1,2,3,\dots
Então x_{k}\to 0 quando k\to\infty. Avaliando f' nesses pontos usando a fórmula do Passo 3:
f'(x_{k})=2x_{k}\sin\!\left(\tfrac{1}{x_{k}^{2}}\right)-\tfrac{2}{x_{k}}\cos\!\left(\tfrac{1}{x_{k}^{2}}\right).
Como \sin\!\left(\tfrac{1}{x_{k}^{2}}\right)=\sin(2\pi k)=0 e \cos\!\left(\tfrac{1}{x_{k}^{2}}\right)=\cos(2\pi k)=1, isto dá
f'(x_{k})=0-\tfrac{2}{x_{k}}=-\tfrac{2}{x_{k}}.
Mas x_{k}=\tfrac{1}{\sqrt{2\pi k}}, então
f'(x_{k})=-2\sqrt{2\pi k}.
Assim |f'(x_{k})|=2\sqrt{2\pi k}\to\infty quando k\to\infty.

Passo 7

Conclusão sobre não-limitibilidade em qualquer vizinhança de 0.
A sequência (x_{k}) fica arbitrariamente próxima de 0 e produz valores de f' com módulo tendendo a infinito. Portanto, em qualquer intervalo que contenha 0 (por menor que seja a vizinhança), haverá índices k suficientemente grandes tais que x_{k} está nessa vizinhança e |f'(x_{k})| é tão grande quanto se queira. Isso mostra que f' não é limitada em nenhuma vizinhança da origem.

Resposta

f é derivável em \mathbb{R} com
f'(0)=0\quad\text{e}\quad f'(x)=2x\sin\!\left(\tfrac{1}{x^{2}}\right)-\tfrac{2}{x}\cos\!\left(\tfrac{1}{x^{2}}\right)\\ \text{ para }x\neq0.
f' não é limitada em vizinhanha alguma de 0 (por exemplo, em x_{k}=1/\sqrt{2\pi k} temos |f'(x_{k})|=2\sqrt{2\pi k}\to\infty).

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