Seja f:(0,+\infty) \rightarrow \mathbb{R} derivável e suponha que
\lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)=0
Seja g(x)=f(x+1)-f(x). Prove que
\lim _{x \rightarrow+\infty} g(x)=0

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue.
  • Informação: f:(0,+\infty)\to\mathbb{R} é derivável e \lim_{x\to+\infty} f'(x)=0.
  • Definição: g é a função dada por g(x)=f(x+1)-f(x),\qquad x>0.
  • Pergunta: Mostrar que \lim_{x\to+\infty} g(x)=0.

Passo 2

Lema que vamos usar (Teorema do Valor Médio de Lagrange). Vou explicar direitinho o que ele diz e por que podemos usá‑lo.
  • Enunciado do Teorema do Valor Médio: se uma função h é contínua no intervalo fechado [a,b] e diferenciável no intervalo aberto (a,b), então existe um ponto c\in(a,b) tal que h'\text{(c)}=\frac{h(b)-h(a)}{b-a}.
  • O que significam as variáveis: a e b são os extremos do intervalo, h(b)-h(a) é a variação de h no intervalo e \frac{h(b)-h(a)}{b-a} é a inclinação média da reta secante entre (a,h(a)) e (b,h(b)). O teorema garante que existe um ponto c onde a derivada (a inclinação da tangente) vale exatamente essa inclinação média.
  • Por que podemos aplicar aqui: para qualquer x>0 o intervalo [x,x+1] está contido em (0,+\infty). Como f é derivável em (0,+\infty), f é em particular contínua em [x,x+1] e diferenciável em (x,x+1); portanto o Teorema do Valor Médio vale em [x,x+1].

Passo 3

Aplicando o Teorema do Valor Médio a f no intervalo [x,x+1] (fixo, mas arbitrário, com x>0) obtemos a existência de um ponto c_x\in(x,x+1) tal que
f'(c_x)=\frac{f(x+1)-f(x)}{(x+1)-x}=\;f(x+1)-f(x).
Logo, usando a definição de g,
g(x)=f(x+1)-f(x)=f'(c_x)\qquad\text{com }c_x\in(x,x+1).

Passo 4

Agora vamos transformar a informação sobre f' em informação sobre g usando a relação g(x)=f'(c_x).
Observe que, como c_x\in(x,x+1), temos a desigualdade
x<c_x<x+1.
Isto implica, em particular, que se x\to+\infty então c_x\to+\infty. Intuitivamente: c_x está sempre entre x e x+1, então quando x cresce muito c_x também fica grande.

Passo 5

Fazendo uma prova com \varepsilon para formalizar o limite.
Seja \varepsilon>0. Como \lim_{t\to+\infty} f'(t)=0, existe M>0 tal que
|f'(t)|<\varepsilon\quad\text{para todo }t\ge M.
Escolha X=M. Para todo x\ge X temos c_x\ge x\ge M (pois c_x\in(x,x+1)), portanto
|g(x)|=|f'(c_x)|<\varepsilon.
Isso mostra que para qualquer \varepsilon>0 existe X tal que |g(x)|<\varepsilon para todo x\ge X, ou seja,
\lim_{x\to+\infty} g(x)=0.

Resposta

\;0

Exercícios relacionados