Seja
derivável e suponha que
Seja
. Prove que
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue.
- Informação:
é derivável e - Definição:
é a função dada por - Pergunta: Mostrar que
Passo 2
Lema que vamos usar (Teorema do Valor Médio de Lagrange). Vou explicar direitinho o que ele diz e por que podemos usá‑lo.
- Enunciado do Teorema do Valor Médio: se uma função
é contínua no intervalo fechado e diferenciável no intervalo aberto , então existe um ponto tal que - O que significam as variáveis:
e são os extremos do intervalo, é a variação de no intervalo e é a inclinação média da reta secante entre e . O teorema garante que existe um ponto onde a derivada (a inclinação da tangente) vale exatamente essa inclinação média. - Por que podemos aplicar aqui: para qualquer
o intervalo está contido em . Como é derivável em , é em particular contínua em e diferenciável em ; portanto o Teorema do Valor Médio vale em .
Passo 3
Aplicando o Teorema do Valor Médio a
no intervalo
(fixo, mas arbitrário, com
) obtemos a existência de um ponto
tal que
Logo, usando a definição de
,
Passo 4
Agora vamos transformar a informação sobre
em informação sobre
usando a relação
.
Observe que, como
, temos a desigualdade
Isto implica, em particular, que se
então
. Intuitivamente:
está sempre entre
e
, então quando
cresce muito
também fica grande.
Passo 5
Fazendo uma prova com
para formalizar o limite.
Seja
. Como
, existe
tal que
Escolha
. Para todo
temos
(pois
), portanto
Isso mostra que para qualquer
existe
tal que
para todo
, ou seja,