Calcule a integral
I=\int_{1}^{4}\left(-x^{2}+20\right) d x
(a) pela regra 1 / 3 de Simpson, a regra simples ( 2 subintervalos).
(b) Compare essa solução com a solução exata (que, nesse caso, é fácil de ser calculada) e explique o motivo da solução numérica e solução exata serem distintas ou de serem iguais. Justifique a sua resposta.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de
I = \int_{1}^{4} \bigl(-x^{2} + 20\bigr)\,dx
de duas formas:
  1. Aproximação pela regra de Simpson 1/3 com dois subintervalos.
  2. Cálculo exato por antiderivada, e comparação entre os resultados.
O conteúdo envolve integração numérica (regra de Simpson) e integração analítica de polinômio.

Passo 2

Aplicando a regra 1/3 de Simpson com n=2:
O passo é
h = \frac{4 - 1}{2} = 1{,}5.
Os pontos são
x_{0} = 1,\quad x_{1} = 1 + h = 2{,}5,\quad x_{2} = 4.
Calculamos
f(x) = -x^{2} + 20,
então
f(x_{0}) = f(1) = -1 + 20 = 19,\quad f(x_{1}) = f(2{,}5) = -6{,}25 + 20 = 13{,}75,\quad f(x_{2}) = f(4) = -16 + 20 = 4.
A regra de Simpson diz
I_{\text{S}} = \frac{h}{3}\Bigl[f(x_{0}) + 4\,f(x_{1}) + f(x_{2})\Bigr] = \frac{1{,}5}{3}\bigl[19 + 4\cdot13{,}75 + 4\bigr].

Passo 3

Calculando a aproximação:
I_{\text{S}} = 0{,}5\bigl[19 + 55 + 4\bigr] = 0{,}5 \times 78 = 39.

Passo 4

Agora a solução exata por antiderivada. Tomamos
\int(-x^{2} + 20)\,dx = -\frac{x^{3}}{3} + 20x + C.
Avaliaremos de 1 a 4:
I = \Bigl(-\tfrac{4^{3}}{3} + 20\cdot4\Bigr) - \Bigl(-\tfrac{1^{3}}{3} + 20\cdot1\Bigr) = \bigl(-\tfrac{64}{3} + 80\bigr) - \bigl(-\tfrac{1}{3} + 20\bigr) = \frac{176}{3} - \frac{59}{3} = \frac{117}{3} = 39.
Comparando, I_{\text{S}} = 39 e I = 39. Eles coincidem porque a regra de Simpson 1/3 é exata para polinômios de grau até 3, e aqui o integrando é um polinômio de grau 2.

Resposta

(a) Pela regra de Simpson: I_{\text{S}} = 39.
(b) Solução exata: I = 39.
Elas são iguais porque a regra de Simpson 1/3 integra exatamente polinômios de grau até 3.

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