Calcule a integral
(a) pela regra
de Simpson, a regra simples ( 2 subintervalos).
(b) Compare essa solução com a solução exata (que, nesse caso, é fácil de ser calculada) e explique o motivo da solução numérica e solução exata serem distintas ou de serem iguais. Justifique a sua resposta.
(b) Compare essa solução com a solução exata (que, nesse caso, é fácil de ser calculada) e explique o motivo da solução numérica e solução exata serem distintas ou de serem iguais. Justifique a sua resposta.
Passo 1
O enunciado pede o cálculo de
de duas formas:
- Aproximação pela regra de Simpson 1/3 com dois subintervalos.
- Cálculo exato por antiderivada, e comparação entre os resultados.
O conteúdo envolve integração numérica (regra de Simpson) e integração analítica de polinômio.
Passo 2
Aplicando a regra 1/3 de Simpson com
:
O passo é
O passo é
Os pontos são
Calculamos
então
A regra de Simpson diz
Passo 3
Calculando a aproximação:
Passo 4
Agora a solução exata por antiderivada. Tomamos
Avaliaremos de
a
:
Comparando,
e
. Eles coincidem porque a regra de Simpson 1/3 é exata para polinômios de grau até 3, e aqui o integrando é um polinômio de grau 2.
Resposta
(a) Pela regra de Simpson:
.
(b) Solução exata: .
Elas são iguais porque a regra de Simpson 1/3 integra exatamente polinômios de grau até 3.
(b) Solução exata:
Elas são iguais porque a regra de Simpson 1/3 integra exatamente polinômios de grau até 3.