Seja a função f(x) dada na forma tabelar abaixo:
x_{k} 2.0 2.7 3.9
f\left(x_{k}\right) 3.1 1.5 1.8
Quer-se integrar a função f(x) de 2.0 a 3.9. Cite de que forma (ou formas), dentre as estudadas na disciplina, seria possível calcular a integral de f(x) de 2.0 a 3.9.

Passo 1

O enunciado fornece valores tabulados de f(x) em três pontos não equidistantes
(x_{0},f_{0})=(2{,}0,3{,}1),\quad (x_{1},f_{1})=(2{,}7,1{,}5),\quad (x_{2},f_{2})=(3{,}9,1{,}8)
e pede \displaystyle \int_{2{,}0}^{3{,}9}f(x)\,dx. O tópico da disciplina aplicado aqui é integração numérica (quadratura), e vamos identificar quais regras estudadas permitem aproximar essa integral com os dados disponíveis.

Passo 2

Regra composta do trapézio. Como os pontos não são equidistantes, dividimos o intervalo em dois subintervalos [2{,}0,2{,}7] e [2{,}7,3{,}9] e somamos dois trapézios:
\int_{2,0}^{3,9}f(x)\,dx\;\approx\;\frac{x_{1}-x_{0}}{2}(f_{0}+f_{1})\;+\;\frac{x_{2}-x_{1}}{2}(f_{1}+f_{2})\,.

Passo 3

Integração do polinômio interpolador de Lagrange de grau 2. Montamos
P_{2}(x)=\sum_{k=0}^{2}f_{k}\,\ell_{k}(x),
onde \ell_{k} são as bases de Lagrange nos nós x_{0},x_{1},x_{2}, e calculamos
\int_{2,0}^{3,9}P_{2}(x)\,dx
analiticamente. Isso equivale a um Newton–Cotes de grau 2 para nós não uniformes.

Passo 4

Regras de Newton–Cotes fechadas de ordem maior (Simpson 1/3 ou Simpson 3/8) podem ser aplicadas desde que se force uma malha uniforme. Por exemplo, inserir pontos intermediários por interpolação em x=2{,}633, 2{,}933, etc., para depois usar:
– Simpson 1/3 em pares de subintervalos;
– Simpson 3/8 em trios de subintervalos.

Passo 5

Métodos de extrapolação ou refinamento a partir da regra do trapézio, como Romberg, podem ser usados se gerarmos estimativas de \int_{2,0}^{3,9}f(x)\,dx em malhas cada vez mais finas (por interpolação dos valores de f) e aplicarmos a tabela de Romberg. Também se poderia usar quadratura de Gauss de ordem 2 ou 3, desde que primeiro se estime f nos nós de Gauss por interpolação.

Resposta

Regra composta do trapézio
Interpolação polinomial de Lagrange (Newton–Cotes não uniformes de grau 2)
Simpson 1/3 ou 3/8 após uniformização da malha
Romberg (extrapolação sobre trapézio)
Quadratura de Gauss (com interpolação prévia)

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