Seja a função
dada na forma tabelar abaixo:
2.0
2.7
3.9
3.1
1.5
1.8
Quer-se integrar a função
de 2.0 a 3.9. Cite de que forma (ou formas), dentre as estudadas na disciplina, seria possível calcular a integral de
de 2.0 a 3.9.
|
2.0 | 2.7 | 3.9 |
|
3.1 | 1.5 | 1.8 |
Passo 1
O enunciado fornece valores tabulados de
em três pontos não equidistantes
e pede
. O tópico da disciplina aplicado aqui é integração numérica (quadratura), e vamos identificar quais regras estudadas permitem aproximar essa integral com os dados disponíveis.
Passo 2
Regra composta do trapézio. Como os pontos não são equidistantes, dividimos o intervalo em dois subintervalos
e
e somamos dois trapézios:
Passo 3
Integração do polinômio interpolador de Lagrange de grau 2. Montamos
onde
são as bases de Lagrange nos nós
, e calculamos
analiticamente. Isso equivale a um Newton–Cotes de grau 2 para nós não uniformes.
Passo 4
Regras de Newton–Cotes fechadas de ordem maior (Simpson
ou Simpson
) podem ser aplicadas desde que se force uma malha uniforme. Por exemplo, inserir pontos intermediários por interpolação em
,
, etc., para depois usar:
– Simpson em pares de subintervalos;
– Simpson em trios de subintervalos.
– Simpson
– Simpson
Passo 5
Métodos de extrapolação ou refinamento a partir da regra do trapézio, como Romberg, podem ser usados se gerarmos estimativas de
em malhas cada vez mais finas (por interpolação dos valores de
) e aplicarmos a tabela de Romberg. Também se poderia usar quadratura de Gauss de ordem 2 ou 3, desde que primeiro se estime
nos nós de Gauss por interpolação.
Resposta
Regra composta do trapézio
Interpolação polinomial de Lagrange (Newton–Cotes não uniformes de grau 2)
Simpson ou
após uniformização da malha
Romberg (extrapolação sobre trapézio)
Quadratura de Gauss (com interpolação prévia)
Interpolação polinomial de Lagrange (Newton–Cotes não uniformes de grau 2)
Simpson
Romberg (extrapolação sobre trapézio)
Quadratura de Gauss (com interpolação prévia)