Seja
I=\int_{0.0}^{2.0} \frac{e^{-\cos x}}{\sqrt{2 x+4}} d x
(a) Calcule I pela regra dos Trapézios (simples).
(b) Calcule I pela regra dos Trapézios usando 2 Trapézios ( m=2 subintervalos).
(c) Calcule I pela regra dos Trapézios usando 4 Trapézios ( m=4 subintervalos).
(d) Explique por que é de se esperar que a solução obtida em (c) seja mais precisa do que a obtida na letra (b).
(e) Calcule I pela regra 1 / 3 de Simpson repetida com m=4 subintervalos. Obs: Lembre-se que a função cosx deve ser avaliada em radianos.

Passo 1

O enunciado pede para aproximar a integral
I = \int_{0}^{2} \frac{e^{-\cos x}}{\sqrt{2x+4}} \,dx
pelas regras numéricas de Newton–Cotes:
– (a) Regra dos Trapézios simples m=1.
– (b) Trapézios compostos com m=2.
– (c) Trapézios compostos com m=4.
– (d) Explicar por que a aproximação de (c) é mais precisa que a de (b).
– (e) Regra 1/3 de Simpson composta com m=4.
Para isso precisamos definir f(x)=\frac{e^{-\cos x}}{\sqrt{2x+4}}, avaliar f nos nós adequados e aplicar as fórmulas de cada método.

Passo 2

Calculamos f(x)=\frac{e^{-\cos x}}{\sqrt{2x+4}} nos nós necessários (em radianos) para x=0,0{,}5,1,1{,}5,2. Os valores aproximados são f(0)=\frac{e^{-1}}{2}\approx0,18394, f(0{,}5)=\frac{e^{-\cos(0{,}5)}}{\sqrt{5}}\approx0,18590, f(1)=\frac{e^{-\cos1}}{\sqrt{6}}\approx0,23796, f(1{,}5)=\frac{e^{-\cos(1{,}5)}}{\sqrt{7}}\approx0,35227, f(2)=\frac{e^{-\cos2}}{\sqrt{8}}\approx0,53630.

Passo 3

(a) Trapézio simples m=1, h=2:
T_{1} = \frac{h}{2}\bigl(f(0)+f(2)\bigr) = \frac{2}{2}\bigl(0,18394+0,53630\bigr) =0,72024.

Passo 4

(b) Trapézio composto com m=2 h=1, nós 0,1,2:
T_{2} = h\Bigl(\tfrac12f(0)+f(1)+\tfrac12f(2)\Bigr) =1\bigl(0,5\cdot0,18394+0,23796+0,5\cdot0,53630\bigr) \approx0,59808.

Passo 5

(c) Trapézio composto com m=4 h=0,5, nós 0,0{,}5,1,1{,}5,2:
T_{4} = h\Bigl(\tfrac12f(0)+f(0{,}5)+f(1)+f(1{,}5)+\tfrac12f(2)\Bigr) =0,5\bigl(0,09197+0,18590+0,23796+0,35227+0,26815\bigr) \approx0,56812.

Passo 6

(d) A fórmula composta do trapézio tem erro O(h^{2}). Como em (c) usamos h=0{,}5 em vez de h=1 de (b), o termo de ordem h^{2} fica quatro vezes menor, tornando T_{4} mais próximo do valor exato que T_{2}.

Passo 7

(e) Regra 1/3 de Simpson composta com m=4 h=0,5, nós 0,0{,}5,1,1{,}5,2:
S_{4} = \frac{h}{3}\Bigl(f(0)+f(2)+4\bigl[f(0{,}5)+f(1{,}5)\bigr]+2\,f(1)\Bigr) =\frac{0,5}{3}\bigl(0,72024+4\cdot0,53817+2\cdot0,23796\bigr) \approx0,55814.

Resposta

(a) T_{1}\approx0,72024
(b) T_{2}\approx0,59808
(c) T_{4}\approx0,56812
(d) Porque o erro é O(h^{2}) e em (c) usamos passo h=0,5 em vez de h=1, reduzindo o erro em aproximadamente 4 vezes.
(e) S_{4}\approx0,55814

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